Propietats de Subespais Vectorials i Bases Ortonormals

Sigui \( S = \{ (ax + y + az, x + 3z, 2x + y + 2z), x, y, z \in \mathbb{R} \}, a \in \mathbb{R} \). a) Calcula els valors de \( a \) per als quals \( \dim(S) = 2 \). b) Calcula els valors de \( a \) per als quals \( (-3, 1, 3) \in S \). c) Sigui \( (2, 1, -2), (1, 0, 1) \) un sistema generador del subespai vectorial \( T \). Calcula una base ortonormal de \( T \). d) Troba \( S \), un subespai vectorial de \( \mathbb{R}^3 \), tal que \( \dim(S) = 2 \), \( (1, 1, 1) \notin S \) i \( (1, 0, 0) \in S \). Raona la resposta.

a) Un sistema generador de \( S \) és: \( \{(a, 2, 2), (-1, 0, 1), (a, 3, 2)\} \), llavors\[ \dim S = 2 \iff \text{rg} \begin{pmatrix} a & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \iff a = -2. \]

b) \( (-3, 1, 3) \in S \) si és combinació lineal dels vectors del sistema generador, és a dir, si el següent sistema d’equacions és compatible:\[ A|B = \begin{pmatrix} a & -1 & a & -3 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \]Per \( a \neq -2 \), és un S.C.D., i per \( a = -2 \), és S.C.I. Llavors és un sistema compatible per a tot valor de \( a \).

c) El sistema \( (2, 1, -2), (1, 0, 1) \) és una base de \( T \) i a més és generador i lliure:\[ \text{rg} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \]Utilitzant el mètode de Gram-Schmidt, una base ortonormal és:\[ \left( \frac{1}{3}(2, 1, -2), \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1) \right). \]

d) Per exemple un subespai vectorial cuja base sigui \( \{(0, 1, 0), (0, 0, 1)\} \). La dimensió del subespai és 2 i \( (1, 1, 1) \notin S \) i \( (1, 0, 0) \in S \) (no són combinació lineal dels vectors de la base).

altre exemple: \( S = \{ (x, y, 2x), x \in \mathbb{R} \} \). Aquest subespai vectorial té dimensió 2 (és senzill comprovar que \( (1, 0, 2), (0, 1, 0) \) és una base de \( S \)). A més, \( (1, 1, 1) \notin S \) i \( (1, 0, 0) \in S \) ja que no són combinació lineal dels vectors de la base.