Diagonalització de Matrius i Classificació de Formes Quadràtiques

Sigui la matriu \( A = \begin{pmatrix} a & 3 & 8 \\ 3 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \). a) Per u valors de \( a \) és diagonalitzable la matriu \( A \)? b) Sigui la forma quadràtica \( Q(x) = {}^tM(x)AM(x) \). Troba \( M(Q) \) i classifica dita forma quadràtica per als diferents valors de \( a \).

a) EL polinomi característic de \( A \) és:\[ p(\lambda) = \begin{vmatrix} a-\lambda & 3 & 8 \\ 3 & a-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & a-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)[(a-\lambda)^2 – 9] = (a-\lambda)(\lambda^2 – 2a\lambda + a^2 – 9). \]Llavors els valors propis són: \( \lambda_1 = a \), \( \lambda_2 = a+3 \), \( \lambda_3 = a-3 \). Com que són tres nombres reals i diferents per a tot valor de \( a \), es té que la matriu té tres valors propis simples i per tant és diagonalitzable per a qualsevol valor de \( a \).

b) \( M(Q) = \begin{pmatrix} a & 3 & 4 \\ 3 & a & 0 \\ 4 & 0 & a \end{pmatrix} \). Criteri dels menors principals:

• d’ordre 1: \( \{a, a, a\} \)

• d’ordre 2: \( \{a^2 – 9, a^2 – 16, a^2\} \)

• d’ordre 3: \( |M(Q)| = a(a^2 – 25) \)\( Q \) es defineix positiva si tots els menors són positius (\( >0 \)), és a dir: \( a>0 \), \( a^2-9>0 \), \( a^2-16>0 \), \( a^2>0 \), \( a(a^2-25)>0 \). Solució: \( a>5 \).\( Q \) es semidefinida positiva si: \( a \geq 0 \), \( a^2-9 \geq 0 \), \( a^2-16 \geq 0 \), \( a^2 \geq 0 \), \( a(a^2-25)=0 \). Solució: \( a=5 \).\( Q \) es defineix negativa si: \( a<0 \), \( a^2-9>0 \), \( a^2-16>0 \), \( a^2>0 \), \( a(a^2-25)<0 \). Solució: \( a<-5 \).\( Q \) es semidefinida negativa si: \( a \leq 0 \), \( a^2-9 \geq 0 \), \( a^2-16 \geq 0 \), \( a^2 \geq 0 \), \( a(a^2-25)=0 \). Solució: \( a=-5 \).I \( Q \) és indefinida en els altres casos. Solució: \( -5 < a < 5 \).