Propagació d’una ona electromagnètica en el buit: direcció i camps E i B

Una ona electromagnètica harmònica plana es propaga en el buit en el sentit positiu de l’eix $x$. La seva longitud d’ona és de $580 \, \mathrm{nm}$ i l’amplitud del camp magnètic oscil·lant és de $86 \, \mathrm{nT}$. Sabent que l’ona està linealment polaritzada amb el pla d’oscil·lació del camp elèctric a $20^\circ$ respecte al pla $xy$, calculeu: a) Els camps elèctric i magnètic en funció del temps i la posició. b) El vector de Poynting. c) La intensitat i la densitat d’energia mitjanes.

Dades donades:

• \(\lambda = 580 \times 10^{-9} \, \text{m}\)

• \(B_0 = 86 \times 10^{-9} \, \text{T}\)

• Angle del camp elèctric respecte el pla $xy$: $\theta = {20}{^\circ}$

• \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

• \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)

• \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

a) Expressions dels camps $\vec{E}(x,t)$ i $\vec{B}(x,t)$} Calculam la constant d’ona i la freqüència angular:\[k = \frac{2\pi}{\lambda} \approx 1.083 \times 10^7\ rad/m, \quad\omega = c k \approx 3.25 \times 10^{15}\ rad/s\]Amplitud del camp elèctric:\[ E_0 = (3 \times 10^8)(86 \times 10^{-9}) = 25.8 \, \text{V/m} \]

Components: \begin{align*} E_{0y} &= E_0 \cos(20^\circ) \approx 24.2 \, \text{V/m}, \quad E_{0z} = E_0 \sin(20^\circ) \approx 8.8 \, \text{V/m} \\ \vec{E}(x, t) &= \left(24.2 \, \hat{y} + 8.8 \, \hat{z}\right) \cos(kx – \omega t) \, \text{V/m} \end{align*}

Camp magnètic: \begin{align*} \vec{B}(x,t) &= \frac{1}{c} \vec{k} \times \vec{E}(x,t) = \frac{1}{c} (E_{0z} \, \hat{y} – E_{0y} \, \hat{z}) \cos(kx – \omega t) \\ \vec{B}(x, t) &= (29.3 \, \hat{y} – 80.7 \, \hat{z}) \cos(kx – \omega t) \, \text{nT} \end{align*}

b) Vector de Poynting: \begin{align*} \vec{S}(x,t) &= \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} \end{align*} Com que $\vec{E} \perp \vec{B}$ i estan en fase: \begin{align*} {\vec{S}(x,t)} &= \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cos^2(kx – \omega t) \\ \vec{S}(x,t) &\approx 1.76 \times 10^{-3} \cos^2(kx – \omega t) \, \hat{x} \, \text{W/m}^2 \end{align*}

c) Intensitat i densitat d’energia mitjanes: \begin{align*} I &= \langle S \rangle = \frac{1}{2\mu_0} E_0 B_0 \approx 0.88 \, \text{mW/m}^2 \\ u &= \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 \approx 2.94 \times 10^{-9} \, \text{J/m}^3 \end{align*}