Anàlisi d’una Ona Electromagnètica Plana al Buit amb Propagació en l’Eix y

Una ona electromagnètica plana de 10 m de longitud d’ona es propaga pel buit segons la direcció positiva de l’eix \( y \). Se sap que el camp elèctric està polaritzat segons la direcció \( z \) i que la seva intensitat mitjana és de 0.2 W/m². Calculeu:a) Els camps elèctric i magnètic en funció del temps. b) El vector de Poynting. c) La potència incident en una superfície circular de radi 0.4 m perpendicular a l’eix \( y \). d) La força electromotriu màxima induïda en una bobina de 100 espires de radi 0.2 m que té el seu eix longitudinal orientat en la direcció \( x \).

Dades:

• Longitud d’ona: \( \lambda = 10 \, \text{m} \).

• Propagació: Direcció positiva de l’eix \( y \) (\( \mathbf{j} \)).

• Polarització del camp elèctric: Direcció \( z \) (\( \mathbf{k} \)).

• Intensitat mitjana: \( I = 0.2 \, \text{W/m}^2 \).

• Velocitat de la llum al buit: \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \).

• Permeabilitat magnètica del buit: \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \)

Càlculs preliminars:

1. Freqüència (\( f \)): \[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{10} = 3 \times 10^7 \, \text{Hz} = 30 \, \text{MHz} \]

2. Període (\( T \)): \[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3 \times 10^7} = 3.333 \times 10^{-8} \, \text{s} = 33.33 \, \text{ns} \]

3. Nombre d’ona (\( k \)): \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10} = 0.6283 \, \text{rad/m} \]

4. Freqüència angular (\( \omega \)): \[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 3 \times 10^7 \approx 1.885 \times 10^8 \, \text{rad/s} \]

5. Amplitud del camp elèctric (\( E_0 \)): La intensitat mitjana és: \[ I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_0^2 \] \[ E_0^2 = \frac{2 I}{\epsilon_0 c} = \frac{2 \times 0.2}{8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8} \approx 150.57 \] \[ E_0 \approx \sqrt{150.57} \approx 12.27 \, \text{V/m} \]

6. Amplitud del camp magnètic (\( B_0 \)): \[ B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{12.27}{3 \times 10^8} \approx 4.09 \times 10^{-8} \, \text{T} \]

a) Camps elèctric i magnètic en funció del temps. L’ona es propaga en la direcció \( +\mathbf{j} \) (eix \( y \)), i el camp elèctric està polaritzat en \( \mathbf{k} \) (eix \( z \)). Assumim una forma sinusoidal:\[\mathbf{E}(y, t) = E_0 \sin(ky – \omega t) \mathbf{k}\]Substituint:\[\mathbf{E}(y, t) = 12.27 \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{k} \, \text{(V/m)}\]Per al camp magnètic, \( \mathbf{B} \) és perpendicular a \( \mathbf{E} \) i \( \mathbf{j} \). Utilitzem:\[\mathbf{B} = \frac{1}{c} (\hat{k} \times \mathbf{E}), \quad \hat{k} = \mathbf{j}\]\[\mathbf{E} = 12.27 \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{k}\]\[\mathbf{j} \times \mathbf{k} = -\mathbf{i}\]\[\hat{k} \times \mathbf{E} = 12.27 \sin(\theta) (-\mathbf{i}), \quad \theta = 0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t\]\[\mathbf{B} = \frac{1}{3 \times 10^8} \left[ -12.27 \sin(\theta) \mathbf{i} \right]\]\[\mathbf{B} = -4.09 \times 10^{-8} \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{i} \, \text{(T)}\]

Resposta a):\[\mathbf{E}(y, t) = 12.27 \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{k} \, \text{(V/m)}\]\[\mathbf{B}(y, t) = -4.09 \times 10^{-8} \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{i} \, \text{(T)}\]

b) Vector de Poynting\[\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\]\[\mathbf{E} = 12.27 \sin(\theta) \mathbf{k}, \quad \mathbf{B} = -4.09 \times 10^{-8} \sin(\theta) \mathbf{i}\]\[\mathbf{k} \times (-\mathbf{i}) = -(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) = -\mathbf{j}\]\[\mathbf{E} \times \mathbf{B} = \left[ 12.27 \sin(\theta) \mathbf{k} \right] \times \left[ -4.09 \times 10^{-8} \sin(\theta) \mathbf{i} \right]\]\[= 12.27 \times (-4.09 \times 10^{-8}) \sin^2(\theta) (-\mathbf{j}) = 5.018 \times 10^{-7} \sin^2(\theta) \mathbf{j}\]\[\mathbf{S} = \frac{5.018 \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-7}} \sin^2(\theta) \mathbf{j} \approx 0.3995 \sin^2(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{j} \, \text{(W/m}^2\text{)}\]Verifiquem la intensitat mitjana:\[\langle |\mathbf{S}| \rangle = 0.3995 \times \frac{1}{2} \approx 0.19975 \, \text{W/m}^2 \approx 0.2 \, \text{W/m}^2\]Això és coherent amb \( I = 0.2 \, \text{W/m}^2 \).

Resposta b) :\[\mathbf{S} = 0.3995 \sin^2(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{j} \, \text{(W/m}^2\text{)}\]

c) Potència incident en una superfície circular. La superfície és circular, de radi \( r = 0.4 \, \text{m} \), perpendicular a l’eix \( y \). L’àrea és:\[A = \pi r^2 = \pi \times (0.4)^2 = 0.5027 \, \text{m}^2\]La potència incident és:\[P = I \times A = 0.2 \times 0.5027 \approx 0.1005 \, \text{W}\]

Resposta c):\[P \approx 0.1005 \, \text{W}\]

d) Força electromotriu màxima induïda. La bobina té:

• Nombre d’espires: \( N = 100 \).- Radi: \( r = 0.2 \, \text{m} \).

• Eix longitudinal: Direcció \( x \) (\( \mathbf{i} \)).

La fem induïda ve donada per la llei de Faraday:\[\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}\]El flux magnètic per espira és:\[\Phi_B = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\]L’àrea de la bobina té vector normal \( \mathbf{i} \):\[A = \pi r^2 = \pi \times (0.2)^2 = 0.1257 \, \text{m}^2\]\[\mathbf{A} = 0.1257 \mathbf{i}\]\[\mathbf{B} = -4.09 \times 10^{-8} \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{i}\]\[\Phi_B = \left[ -4.09 \times 10^{-8} \sin(\theta) \mathbf{i} \right] \cdot \left[ 0.1257 \mathbf{i} \right]\]\[= -4.09 \times 10^{-8} \times 0.1257 \sin(\theta) \approx -5.141 \times 10^{-9} \sin(\theta)\]\[\Phi_{\text{total}} = N \Phi_B = 100 \times (-5.141 \times 10^{-9}) \sin(\theta) = -5.141 \times 10^{-7} \sin(\theta)\]Derivem:\[\mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left[ -5.141 \times 10^{-7} \sin(\theta) \right]\]\[\frac{d\theta}{dt} = -1.885 \times 10^8\]\[\mathcal{E} = – \left( -5.141 \times 10^{-7} \right) \cos(\theta) \cdot \left( -1.885 \times 10^8 \right)\]\[= 5.141 \times 10^{-7} \times 1.885 \times 10^8 \cos(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t)\]\[\approx 0.0969 \cos(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \, \text{V}\]Fem màxima:\[\mathcal{E}_{\text{max}} \approx 0.0969 \, \text{V}\]

Resposta d):\[\mathcal{E}_{\text{max}} \approx 0.0969 \, \text{V}\]

Resum final:

a) \( \mathbf{E}(y, t) = 12.27 \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{k} \, \text{(V/m)} \) \( \mathbf{B}(y, t) = -4.09 \times 10^{-8} \sin(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{i} \, \text{(T)} \)

b) \( \mathbf{S} = 0.3995 \sin^2(0.6283 y – 1.885 \times 10^8 t) \mathbf{j} \, \text{(W/m}^2\text{)} \)

c) \( P \approx 0.1005 \, \text{W} \)

d) \( \mathcal{E}_{\text{max}} \approx 0.0969 \, \text{V} \)