Ona electromagnètica general

En una regió homogènia on $\mu_r = 1$ i $\epsilon_r = 50$. $$E(z, t) = 20 \, \mathrm{m} \cdot e^{-j(\omega t – \beta z)} \, \hat{a}x \, (\mathrm{V/m})$$ $$B(z, t) = \mu_0 H{\text{màx}} \cdot e^{-j(\omega t – \beta z)} \, \hat{a}_y \, (\mathrm{T})$$

a) Calcular la freqüència angular i la intensitat de camp màxim si la longitud d’ona és 1,78 m.

1. Per definició la freqüència angular és:
   $$\omega = 2 \cdot \pi \cdot F$$
   $$v = \lambda \cdot F$$
2. També sabem que la velocitat de propagació de l’ona depèn de les característiques del medi:
   $$v = \sqrt{\frac{1}{\epsilon \mu}} = \sqrt{\frac{1}{\epsilon_r \epsilon_0 \mu_r \mu_0}} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \mathrm{m/s}}{\sqrt{50}} = 42,43 \cdot 10^6 \, \mathrm{m/s}$$
   de donde:
   $$F = \frac{v}{\lambda} = \frac{42,43 \cdot 10^6 \, \mathrm{m/s}}{1,78 \, \mathrm{m}} = 23,83 \cdot 10^6 \, \mathrm{Hz}$$ I finalment:
   $$\omega = 2 \cdot \pi \cdot F = 2 \cdot \pi \cdot 23,83 \cdot 10^6 \, 1/s = 1,5 \cdot 10^8 \, \mathrm{rad/s}$$ Per a la intensitat de camp magnètic usarem la definició de la impedància intrínseca del medi:
   $$\eta = \frac{|E|}{|H|} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_r \mu_0}{\epsilon_r \epsilon_0}} = \eta_0 \cdot \sqrt{\frac{\mu_r}{\epsilon_r}} = 120 \pi \Omega \cdot \sqrt{\frac{1}{50}} = 53,31 \, \Omega$$ De donde:
   $$|H| = \frac{|E|}{\eta} = \frac{20 \, \mathrm{V/m}}{53,31 \, \Omega} = 1,18 \, \mathrm{A/m}$$

b) Determinar la direcció i sentit de propagació de l’ona.

A través de l’expressió per al vector de Poynting:
$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = \vec{E} \times \frac{\vec{B}}{\mu_0}$$

Deduïm que si la direcció i el sentit de propagació de l’ona és (+\vec{a}_z) i la polarització del vector densitat de flux magnètic és (\vec{a}_y), resulta que perquè es verifiqui el producte vectorial que defineix Poynting, tindrem el següent vector de camp elèctric: