Làser de diòxid de carboni

Un làser de CO₂ emet una ona electromagnètica sinusoidal que viatja en el buit amb direcció x negativa. La longitud d’ona és de 10,6 μm i el camp elèctric és paral·lel a l’eix de les y amb una magnitud màxima de 1,5 MV/m. Calculeu les equacions vectorials per a B i E. Useu unitats.

1. Un possible parell de funcions d’ona serien:
   $$\vec{B}(x, t) = B_{\text{màx}} \sin(\omega t + \beta x) \cdot \vec{a}_z$$
   $$\vec{E}(x, t) = 1,5 \sin(\omega t + \beta x) \, \text{MV/m} \cdot \vec{a}_y$$
   En l’argument del seno s’ha col·locat un + degut a que per dato l’ona es propaga cap a les x negatives.
2. Determinació de l’amplitud de la densitat de camp magnètic, per a una ona que es propaga en el buit:
   $$E = cB \rightarrow B_M = \frac{E_M}{c} = \frac{1,5 \cdot 10^6 \, \text{V/m}}{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}} = 5 \cdot 10^{-3} \, \text{Wb/m}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \, \text{T}$$
3. Determinació del nombre d’ona:
   $$\beta = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{10,6 \cdot 10^{-6} \, \text{m}} = 5,93 \cdot 10^5 \, \text{r/m}$$
4. Determinació de la freqüència angular:
   $$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi c}{\lambda} = \beta c = 5,93 \cdot 10^5 \, \frac{\text{r}}{\text{m}} \cdot 3 \cdot 10^8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = 1,78 \cdot 10^{14} \, \frac{\text{r}}{\text{s}}$$

5. Determinació del versor associat a la densitat de camp magnètic:

Del vector de Poynting tenim: $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = \vec{E} \times \frac{\vec{B}}{\mu_0}$. D’acord amb la gràfica de l’exercici per $t=0$ tenim:
$$\vec{S}(-\vec{a}_x) = E \vec{a}_y \times \frac{\vec{B}}{\mu_0} \vec{a}_z$$

D’on es dedueix que $\vec{B}$ tindrà associat el versor $\vec{a}_z$.

Finalment les equacions seran:
$$\vec{B}(x, t) = 5 \cdot 10^{-3} \operatorname{sen}\left(1,78 \cdot 10^{14} \frac{\text{r}}{\text{s}} t + \frac{5,93 \cdot 10^5 \text{r}}{\text{m}} x\right) \vec{a}_z \, \text{T}$$
$$\vec{E}(x, t) = 1,5 \operatorname{sen}\left(1,78 \cdot 10^{14} \frac{\text{r}}{\text{s}} t + \frac{5,93 \cdot 10^5 \text{r}}{\text{m}} x\right) \text{MV/m} \, \vec{a}_y$$

Per $t=0$:
$$\vec{B}(x, 0) = 5 \cdot 10^{-3} \operatorname{sen}\left(\frac{5,93 \cdot 10^5 \text{r}}{\text{m}} x\right) \vec{a}_z \, \text{T}$$
$$\vec{E}(x, 0) = 1,5 \operatorname{sen}\left(\frac{5,93 \cdot 10^5 \text{r}}{\text{m}} x\right) \text{MV/m} \, \vec{a}_y$$

Les equacions verifican la gràfica mostrada, la qual indica que l’exercici ha estat resolt correctament.

Observació sobre l’exercici:

Conceptualment, el vector de Poynting descriu la magnitud, direcció i sentit de la rapidesa de flux d’energia per unitat d’àrea d’una ona electromagnètica.
$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = \vec{E} \times \frac{\vec{B}}{\mu_0}$$

Si en el tercer terme de l’expressió reemplacem els vectors de la següent manera genèrica, observem com el vector de Poynting varia en funció del temps:
$$\vec{S} = E_M \cos(\omega t + \beta x) \vec{a}_y \times \frac{B_M \cos(\omega t + \beta x)}{\mu_0} \vec{a}_z = \frac{E_M B_M}{\mu_0} \cos^2(\omega t + \beta x) \vec{a}_x$$

L’anterior es pot expressar de manera equivalent com a següent:
$$\vec{S} = \frac{E_M B_M}{\mu_0} \cos^2(\omega t + \beta x) \vec{a}_x = \frac{E_M B_M}{2 \mu_0} [1 + \cos 2(\omega t + \beta x)] \vec{a}_x$$

Aquesta variació amb el temps és molt ràpida, ja que la freqüència angular de les ones electromagnètiques respon a freqüències elevades. Recordeu que $\omega = 2\pi f$. Per aquesta raó és més apropiat treballar amb el valor promig del vector de Poynting en un punt:
$$\vec{S}{\text{promedio}} = \frac{1}{T} \int{0}^{T} \frac{E_M B_M}{2 \mu_0} [1 + \cos 2(\omega t + \beta x)] \cdot \mathrm{d}t \vec{a}x = \frac{E_M B_M}{2 \mu_0} \left[ \int{0}^{T} [1 + \cos 2(\omega t + \beta x)] \cdot \mathrm{d}t \right] \vec{a}x ] [ \vec{S}{\text{promedio}} = \frac{E_M B_M}{2 \mu_0} \vec{a}_x$$

Aquesta magnitud es coneix com la intensitat de l’ona:
$$I = \frac{E_M B_M}{2 \mu_0}$$

Per aquest cas seria la intensitat d’una ona sinusoidal en el buit.

D’aquest anàlisi es pretén ressaltar que al ser el Poynting una funció del temps, la rapidesa instantània amb la qual arriba a una superfície energia electromagnètica no és constant, és a dir, que per exemple la llum d’un focus que sembla estable i invariable arriba al nostre ull passant per valors nuls i màxims. Això no sembla ocórrer per l’elevada freqüència d’oscil·lació que no és perceptible per a l’ull humà. El que percebem és la rapidesa promig amb la qual l’energia arriba al nostre ull i d’aquí l’emple del concepte d’intensitat.