Programació lineal. Optimització del benefici en la producció de pastissos

Un pastisser disposa de 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de mantega per fer dos tipus de pastissos, A i B. Per fer una fornada de pastissos del tipus A es necessiten 3 kg de farina, 1 kg de sucre i 1 kg de mantega, mentre que per fer una fornada de pastissos del tipus B es necessiten 6 kg de farina, 0.5 kg de sucre i 1 kg de mantega. Se sap que el benefici que s’obté en vendre una fornada del tipus A és de 20 euros i, de 30 euros en vendre una fornada del tipus B.

a) Plantejau la maximització del benefici del pastisser com un problema de programació lineal. (4 punts)

b) Dibuixau la regió factible per a la solució, indicant les rectes i vèrtexs que la delimiten. (4 punts)

c) Determinau quantes fornades de cada tipus ha de fer i vendre el pastisser per maximitzar els seus beneficis. Determinau també aquest benefici màxim.

a) Plantejament del problema de programació lineal

Per maximitzar el benefici del pastisser, definim les variables següents:

• $x$: nombre de fornades de pastissos del tipus A.
• $y$: nombre de fornades de pastissos del tipus B.

Funció objectiu (benefici a maximitzar):
El benefici per fornada de tipus A és de 20 euros, i per tipus B és de 30 euros. Per tant, la funció a maximitzar és:
$$Z = 20x + 30$$

Restriccions:
Les quantitats de farina, sucre i mantega són limitades, i cada tipus de fornada consumeix una quantitat específica d’ingredients. A més, el nombre de fornades no pot ser negatiu. Les restriccions són:

1. Farina: 3 kg per fornada A, 6 kg per fornada B, màxim 150 kg.
   $$3x + 6y \leq 150$$
   Simplificant (dividint per 3):
   $$x + 2y \leq 50$$
2. Sucre: 1 kg per fornada A, 0.5 kg per fornada B, màxim 22 kg.
   $$x + 0.5y \leq 22$$
   O, equivalentment:
   $$x + \frac{y}{2} \leq 22$$
3. Mantega: 1 kg per fornada A, 1 kg per fornada B, màxim 26 kg.
   $$x + y \leq 26$$
4. No negativitat:
   $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

Formulació completa del problema:
$$\text{Maximitzar } Z = 20x + 30y$$
Subjecte a:
$$x + 2y \leq 50$$
$$x + \frac{y}{2} \leq 22$$
$$x + y \leq 26$$
$$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

---

b) Dibuix de la regió factible

Aquí tens el diagrama amb la regió factible del problema de programació lineal del pastisser. Els vèrtexs assenyalats són les solucions candidates, i el punt òptim $(2, 24)$ correspon al benefici màxim de $760$Programació lineal €.

1. Restricció de farina: $x + 2y = 50$

• Quan $x = 0$: $2y = 50 \implies y = 25$. Punt: $(0, 25)$.
• Quan $y = 0$: $x = 50$. Punt: $(50, 0)$.
• Recta: uneix $(0, 25)$ i $(50, 0)$.

1. Restricció de sucre: $x + \frac{y}{2} = 22$ o $x + 0.5y = 22$

• Quan $x = 0$: $0.5y = 22 \implies y = 44$. Punt: $(0, 44)$.
• Quan $y = 0$: $x = 22$. Punt: $(22, 0)$.
• Recta: uneix $(0, 44)$ i $(22, 0)$.

1. Restricció de mantega: $x + y = 26$

• Quan $x = 0$: $y = 26$. Punt: $(0, 26)$.
• Quan $y = 0$: $x = 26$. Punt: $(26, 0)$.
• Recta: uneix $(0, 26)$ i $(26, 0)$.

1. Eixos (restriccions de no negativitat): $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Trobem els vèrtexs de la regió factible calculant les interseccions de les rectes:

• Intersecció de $x + 2y = 50$ i $x + \frac{y}{2} = 22$:
  Multipliquem la segona equació per 2 per eliminar la fracció:
  $$x + y = 44$$
  Restem la primera equació ($x + 2y = 50$) de la segona ($x + y = 44$):
  $$(x + 2y) – (x + y) = 50 – 44$$
  $$y = 6$$
  Substituïm $y = 6$ a $x + y = 44$:
  $$x + 6 = 44 \implies x = 38$$
  Punt: $(38, 6)$.
  Verifiquem la restricció de mantega: $x + y = 38 + 6 = 44 > 26$, per tant, aquest punt no és factible.
• Intersecció de $x + 2y = 50$ i $x + y = 26$:
  Restem la segona equació de la primera:
  $$(x + 2y) – (x + y) = 50 – 26$$
  $$y = 24$$
  Substituïm $y = 24$ a $x + y = 26$:
  $$x + 24 = 26 \implies x = 2$$
  Punt: $(2, 24)$.
  Verifiquem la restricció de sucre: $x + \frac{y}{2} = 2 + \frac{24}{2} = 2 + 12 = 14 \leq 22$. És factible.
• Intersecció de $x + \frac{y}{2} = 22$ i $x + y = 26$:
  Multipliquem la primera equació per 2:
  $$x + y = 44$$
  Restem la segona equació ($x + y = 26$) de la primera:
  $$(x + y) – (x + y) = 44 – 26$$
  Aquesta resta no té sentit perquè són la mateixa equació amb diferents constants, així que revisem correctament:
  De $x + y = 26$, tenim $x = 26 – y$. Substituïm a $x + \frac{y}{2} = 22$:
  $$(26 – y) + \frac{y}{2} = 22$$
  $$26 – y + \frac{y}{2} = 22$$
  $$26 – \frac{y}{2} = 22$$
  $$\frac{y}{2} = 4 \implies y = 8$$
  Substituïm $y = 8$ a $x + y = 26$:
  $$x + 8 = 26 \implies x = 18$$
  Punt: $(18, 8)$.
  Verifiquem la restricció de farina: $x + 2y = 18 + 2 \cdot 8 = 18 + 16 = 34 \leq 50$. És factible.
• Punts en els eixos:
• $x = 0$, $x + \frac{y}{2} = 22 \implies \frac{y}{2} = 22 \implies y = 44$. Punt: $(0, 44)$. Però $x + y = 44 > 2$), no factible.
• $x = 0$, $x + y = 26 \implies y = 26$. Punt: $(0, 26)$. Verifiquem: $x + \frac{y}{2} = \frac{26}{2} = 13 \leq 22$, $x + 2y = 2 \cdot 26 = 52 > 50$, no factible.
• $x = 0$, $x + 2y = 50 \implies 2y = 50 \implies y = 25$. Punt: $(0, 25)$. Verifiquem: $x + \frac{y}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \leq 22$, $x + y = 25 \leq 26$. És factible.
• $y = 0$, $x + \frac{y}{2} = 22 \implies x = 22$. Punt: $(22, 0)$. Verifiquem: $x + y = 22 \leq 26$, $x + 2y = 22 \leq 50$. És factible.
• Origen: $(0, 0)$. És factible.

Vèrtexs de la regió factible:
Després de verificar, els vèrtexs factibles són:

• $(0, 0)$
• $(0, 25)$
• $(2, 24)$
• $(18, 8)$
• $(22, 0)$

La regió factible està delimitada per les rectes:

• $x + 2y = 50$ (farina)
• $x + \frac{y}{2} = 22$ (sucre)
• $x + y = 26$ (mantega)
• Els eixos $x = 0$ i $y = 0$.

Descripció gràfica (sense dibuix real, però descrita):

• La regió factible és un polígon convex amb vèrtexs en $(0, 0)$, $(0, 25)$, $(2, 24)$, $(18, 8)$, i $(22, 0)$.
• Les rectes $x + 2y = 50$, $x + \frac{y}{2} = 22$, i $x + y = 26$ formen els límits, i la regió factible és la intersecció d’aquestes restriccions en el primer quadrant.

---

c) Determinació de les fornades i benefici màxim

Per trobar el màxim benefici, avaluem la funció objectiu $Z = 20x + 30y$ en cada vèrtex de la regió factible:

1. Vèrtex $(0, 0)$:
   $$Z = 20 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0$$
2. Vèrtex $(0, 25)$:
   $$Z = 20 \cdot 0 + 30 \cdot 25 = 750$$
3. Vèrtex $(2, 24)$:
   $$Z = 20 \cdot 2 + 30 \cdot 24 = 40 + 720 = 760$$
4. Vèrtex $(18, 8)$:
   $$Z = 20 \cdot 18 + 30 \cdot 8 = 360 + 240 = 600$$
5. Vèrtex $(22, 0)$:
   $$Z = 20 \cdot 22 + 30 \cdot 0 = 440$$

El benefici màxim és $760$ euros, i s’aconsegueix en el vèrtex $(2, 24)$.

Solució:

• El pastisser ha de fer $2$ fornades de pastissos del tipus A i $24$ fornades de pastissos del tipus B.
• El benefici màxim és $760$ euros.

Verificació dels recursos:

• Farina: $3 \cdot 2 + 6 \cdot 24 = 6 + 144 = 150$ kg (exactament el límit).
• Sucre: $1 \cdot 2 + 0.5 \cdot 24 = 2 + 12 = 14$ kg $\leq 22$.
• Mantega: $1 \cdot 2 + 1 \cdot 24 = 2 + 24 = 26$ kg (exactament el límit).

La solució és factible i òptima.

Resposta final:

• Fornades: $2$ de tipus A, $24$ de tipus B.
• Benefici màxim: $760$ euros.