Anàlisi de probabilitats en la classificació d’olives segons productora i varietat

Una tafona rep caixes d’olives de dues productores, A i B, que conreen dues varietats, picual i arbequina. El 40% de les olives prové de la productora A, d’aquestes el 60 % és de la varietat picual. De les que provenen de la productora B, el 30 % és de la varietat arbequina. Es tria una caixa d’olives a l’atzar. a) Interpretau les dades proporcionades en termes de successos, probabilitats i probabilitats condicionades. b) Quina és la probabilitat que sigui de la varietat picual? c) Si se sap que és de la varietat picual, quina és la probabilitat que provingui de la productora A?

🅰️ a) Interpretació de les dades

Definim els successos:

• $A$: la caixa prové de la productora A
• $B$: la caixa prové de la productora B
• $P$: la caixa és de la varietat picual
• $Ar$: la caixa és de la varietat arbequina

Dades proporcionades:

• $P(A) = 0{,}4 \Rightarrow P(B) = 0{,}6$
• $P(P \mid A) = 0{,}6 \Rightarrow P(Ar \mid A) = 0{,}4$
• $P(Ar \mid B) = 0{,}3 \Rightarrow P(P \mid B) = 0{,}7$

Això ens proporciona tant les probabilitats totals com les condicionades (és a dir, dins de cada productora, com es distribueixen les varietats).

🅱️ b) Probabilitat que sigui de varietat picual

Aplicam el teorema de la probabilitat total: $$P(P) = P(P \mid A) \cdot P(A) + P(P \mid B) \cdot P(B)$$

Substituïm: $$P(P) = (0{,}6)(0{,}4) + (0{,}7)(0{,}6) = 0{,}24 + 0{,}42 = \boxed{0{,}66}$$

🅲 c) Probabilitat que provingui de la productora A sabent que és picual

Això és una probabilitat condicionada: volem $P(A \mid P)$

Fem servir la fórmula de Bayes: $$P(A \mid P) = \frac{P(P \mid A) \cdot P(A)}{P(P)}$$

Ja sabem tot: $$P(A \mid P) = \frac{(0{,}6)(0{,}4)}{0{,}66} = \frac{0{,}24}{0{,}66} \approx \boxed{0{,}3636}$$

✅ Resum final:

• a) S’han definit els successos i les probabilitats.
• b) $P(P) = \boxed{0{,}66}$
• c) $P(A \mid P) = \boxed{0{,}3636}$