Les diagonals de un polígon se troben unint parelles de vèrtexs no adjacents

Les diagonals de un polígon se troben unint parelles de vèrtexs no adjacents. 1. Obtenir el nombre de diagonals del quadrat, de l’hexàgon i de l’octògon. Calcular-ho per al cas general d’un polígon de \(n\) costats. 2. ¿Existeix algun polígon en què el nombre de costats sigui igual al nombre de diagonals?

1. Comencem calculant el nombre de diagonals del quadrat. Hi ha \(C_{4,2} = 6\) unions possibles de vèrtexs diferents qualsevol, adjacents o no. Si d’aquestes 6 parelles eliminem les que corresponen a vèrtexs adjacents (tantes com el nombre de costats del quadrat), quedaran \(6 – 4 = 2\) diagonals. Procedint del mateix mode amb l’hexàgon, s’obté:\[C_{6,2} = 6 \cdot \frac{5}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 5 = 15 \rightarrow 15 – 6 = 9 \text{ diagonals}.\]Anàlogament, en el cas de l’octògon, s’obtenen:\[C_{8,2} = 8 \cdot \frac{7}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 28 \rightarrow 28 – 8 = 20 \text{ diagonals}.\]Finalment, per al cas general d’un polígon de \(n\) costats, el nombre de diagonals és:\[C_{n,2} – n = \frac{n \cdot (n-1)}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} – n = \frac{n \cdot (n-1)}{2} – n = \frac{n^2 – 3n}{2}.\]2. Veiem si existeix algun polígon on el nombre de costats sigui igual al nombre de diagonals. Igualant el nombre de costats i el nombre de diagonals s’obté:\[n = \frac{n^2 – 3n}{2},\]

Es a dir: \[n \cdot (n – 5) = 0.\]

Com \(n \geq 1\), el resultat \(n = 0\) no és vàlid. La solució és \(n = 5\) (el pentàgon).