Optimització del Cost de Producció de Cargols A i B

Una empresa fabrica dues classes de cargols, $A$ i $B$. En la producció diària, se sap que el nombre de cargols de la classe B no supera el nombre de cargols de la classe A més 1.000 unitats, que entre les dues classes no superen les 3.000 unitats, i que els de la classe B no són inferiors a 1.000 unitats. Sabent que els cargols de classe A tenen un valor de $20$ pessetes per unitat i els de classe B de $15$ pessetes, calculeu el cost màxim i mínim que pot tenir la producció diària, i indiqueu quants cargols de cada classe s’aconsegueixen en aquests màxim i mínim.

---

1. Definim les variables:

• $x$: nombre de cargols de classe A
• $y$: nombre de cargols de classe B

2. Condicions del problema:

1. «el nombre de B no supera A + 1.000»
   $y \leq x + 1000$
2. «entre les dues classes no superen les 3.000 unitats»
   $x + y \leq 3000$
3. «els de la classe B no baixen de 1.000 unitats»
   $y \geq 1000$
4. També assumim que:
   $x \geq 0, \quad y \geq 0$

3. Funció objectiu (cost total):

• Cada A costa 20 pessetes
• Cada B costa 15 pessetes
  $$\text{Cost total} = 20x + 15y$$

Volem maximitzar i minimitzar aquesta funció sota les restriccions donades.

---

4. Representem les restriccions gràficament (opcional)

Podem resoldre-ho trobant els punts límit del polígon format per les restriccions.

Resolem el sistema de desigualtats: $$\begin{cases} y \leq x + 1000 \quad (1) \\ x + y \leq 3000 \quad (2) \\ y \geq 1000 \quad (3) \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}$$

Trobarem els punts de tall entre aquestes rectes per a determinar els vèrtexs del polígon de solucions vàlides.

---

5. Trobar els punts d’intersecció:

Intersecció de (1) i (2): $$y = x + 1000 \\ x + y = 3000 \Rightarrow x + (x + 1000) = 3000 \Rightarrow 2x + 1000 = 3000 \Rightarrow x = 1000, y = 2000$$

Intersecció de (1) i (3): $$y = x + 1000 \quad \text{i} \quad y = 1000 \Rightarrow x + 1000 = 1000 \Rightarrow x = 0, y = 1000$$

Intersecció de (2) i (3): $$x + y = 3000 \quad \text{i} \quad y = 1000 \Rightarrow x = 2000, y = 1000$$

També afegim punt amb x = 0 dins del domini:
Verifiquem si (0, 1000) compleix totes les condicions (sí)

---

6. Vèrtexs vàlids del polígon:

Els punts que compleixen totes les restriccions són:

• $A = (0, 1000)$
• $B = (1000, 2000)$
• $C = (2000, 1000)$

---

7. Calculem el cost en cada vèrtex:

• A: $20(0) + 15(1000) = 15,000 pessetes$
• B: $20(1000) + 15(2000) = 20,000 + 30,000 = 50,000 pessetes$
• C: $20(2000) + 15(1000) = 40,000 + 15,000 = 55,000 pessetes$

---

✅ Resultats finals:

• Cost mínim: 15.000 pessetes amb $0$ cargols de classe A i $1000$ de classe B
• Cost màxim: 55.000 pessetes amb $2000$ cargols de classe A i $1000$ de classe B