Moviment de Rebot d’una Bola de Goma

Es deixa caure una bola de goma des d’una altura de 243 metres. Cada vegada que toca a terra, rebota i recorre cap amunt una distància igual a les dues terceres parts de l’altura des de la qual ha caigut l’última vegada. a) Des de quina altura ha caigut la bola quan ha tocat a terra per sisena vegada? b) Quina distància ha recorregut des que s’ha deixat caure fins que ha tocat a terra per sisena vegada?

Donades:

• Altura inicial: $h_0 = 243$ m
• A cada rebot, la bola puja $\frac{2}{3}$ de l’altura anterior.
• A cada “toc a terra” hi ha un baixar i pujar, excepte el primer (només baixar).

a) De quina altura ha caigut la bola quan ha tocat a terra per sisena vegada?

Tocar a terra implica que ha fet:

1. primera caiguda (243 m)
2. primer rebot: puja $\frac{2}{3} \cdot 243$ = 162 m → cau des de 162 m
3. segon rebot: puja $\frac{2}{3} \cdot 162$ = 108 m → cau des de 108 m
4. tercer rebot: puja $\frac{2}{3} \cdot 108$ = 72 m → cau des de 72 m
5. quart rebot: puja $\frac{2}{3} \cdot 72$ = 48 m → cau des de 48 m
6. cinquè rebot: puja $\frac{2}{3} \cdot 48$ = 32 m → cau des de 32 m

Per tant, la sisena vegada que toca a terra és després de caure des de: $$\frac{2}{3} \cdot 48 = 32 \text{ metres}$$

✅ Resposta a (a):

32 metres.

b) Quina distància ha recorregut fins que ha tocat a terra per sisena vegada?

Mirem el recorregut total:

1. 1a caiguda: 243 m
2. 1r rebot: puja 162 m, cau 162 m → suma 324 m
3. 2n rebot: puja 108 m, cau 108 m → suma 216 m
4. 3r rebot: puja 72 m, cau 72 m → suma 144 m
5. 4t rebot: puja 48 m, cau 48 m → suma 96 m
6. 5è rebot: puja 32 m, cau 32 m → suma 64 m

Total recorregut: $$243 + 324 + 216 + 144 + 96 + 64 = \boxed{1087 \text{ metres}}$$

✅ Resposta a (b):

1087 metres recorreguts en total fins que ha tocat terra per sisena vegada.