Optimització de la producció de fertilitzants per maximitzar el benefici

En una refineria es produeixen dos tipus de fertilitzants a partir de quatre compostos: nitrogen, àcid fosfòric, potassi soluble i guano. A la taula següent s’expressa la composició per bidó d’aquests dos fertilitzants:

L’empresa disposa de 900 litres de nitrogen i de 1.400 litres de guano, i les quantitats dels altres dos components no estan limitades, encara que a causa del gran estoc existent d’aquests dos productes, cal utilitzar almenys 600 litres d’àcid fosfòric i 1.800 litres de potassi soluble. Cada bidó del fertilitzant 1 suposa un benefici de 6 pessetes, i cada bidó del fertilitzant 2 suposa un benefici de 5 pessetes. Cal determinar quina quantitat de fertilitzant de cada tipus cal produir per obtenir un benefici màxim.

Formulació del problema

1. Variables:
   • $x$: nombre de bidons de Fertilitzant 1.
   • $y$: nombre de bidons de Fertilitzant 2.
2. Composició per bidó (en litres):

1. Recursos disponibles:
   • Nitrogen: $900$ litres.
   • Guano: $1.400$ litres.
   • Àcid fosfòric: mínim $600$ litres.
   • Potassi soluble: mínim $1.800$ litres.
2. Benefici:
   • Fertilitzant 1: $6$ pessetes per bidó.
   • Fertilitzant 2: $54 pessetes per bidó.

Funció objectiu (benefici):

L’objectiu és maximitzar el benefici de l’empresa. La funció objectiu es formula com segueix: $$Z = 6x + 5y$$

On $Z$ és el benefici total a maximitzar.

Restriccions:

1. Nitrogen:
   El consum de nitrogen per cada tipus de fertilitzant és: $$20x + 10y \leq 900$$ Simplificat (dividint per 10): $$x + y \leq 90$$
2. Guano:
   El consum de guano per cada tipus de fertilitzant és: $$20x + 20y \leq 1400$$ Simplificat (dividint per 20): $$x + y \leq 70$$
3. Àcid fosfòric (mínim):
   El mínim requerit d’àcid fosfòric és de 600 litres, per tant: $$30x + 10y \geq 600$$ Simplificat (dividint per 10): $$3x + y \geq 60$$
4. Potassi soluble (mínim):
   El mínim requerit de potassi soluble és de 1.800 litres, per tant: $$30x + 60y \geq 1800$$ Simplificat (dividint per 30): $$x + 2y \geq 60$$
5. No negativitat: $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

Resolució gràfica:

1. Dibuixem les restriccions:
   • Nitrogen: $2x + y \leq 90$
     • Intersecció amb els eixos: $x = 0 \rightarrow y = 90$, $y = 0 \rightarrow x = 45.$
     • Línia: Uneix $(0, 90)$ i $(45, 0)$.
   • Guano: $x + y \leq 70$
     • Intersecció amb els eixos:$x = 0 \rightarrow y = 70$, $y = 0 \rightarrow x = 70.$
     • Línia: Uneix $(0, 70)$ i $(70, 0)$.
   • Àcid fosfòric: $3x + y \geq 60$
     • Intersecció amb els eixos: $4x = 0 \rightarrow y = 60$, $y = 0 \rightarrow x = 20$.
     • Línia: Uneix $(0, 60)$ i $(20, 0)$.
   • Potassi soluble: $x + 2y \geq 60$
     • Intersecció amb els eixos: $x = 0 \rightarrow y = 30$, $y = 0 \rightarrow x = 60$
     • Línia: Uneix $(0, 30)$ i $(60,0)$.
2. Trobem els vèrtexs de la regió factible:
   • Intersecció de $2x + y = 90$ i $x + y = 70$: $x = 20, \quad y = 50 \quad \Rightarrow \quad \text{punt: } (20, 50)$
   • Intersecció de $3x + y = 60$ i $x + 2y = 60$: $x = 12, \quad y = 24 \quad \Rightarrow \quad \text{punt: } (12, 24)$
   • Intersecció de $2x + y = 90$ i $x + 2y = 60$: $x=40,y=10⇒punt: (40,10)x = 40, \quad y = 10 \quad \Rightarrow \quad \text{punt: } (40, 10)$
3. Avaluem la funció objectiu $Z = 6x + 5y$ als vèrtexs:
   • En $(12, 24)$: $Z = 6 \cdot 12 + 5 \cdot 24 = 72 + 120 = 192$
   • En $(20, 50)$: $Z = 6 \cdot 20 + 5 \cdot 50 = 120 + 250 = 370$
   • En $(40, 10)$: $Z = 6 \cdot 40 + 5 \cdot 10 = 240 + 50 = 290$

El benefici màxim és $Z = 370$ pessetes, obtingut en el punt $(20, 50)$.

Verificació:

Comprovem que el punt (20,50)(20, 50) compleix totes les restriccions:

• Nitrogen: $20 \cdot 20 + 10 \cdot 50 = 400 + 500 = 900 \leq 900$ (exactament).
• Guano: $20 \cdot 20 + 20 \cdot 50 = 400 + 1000 = 1400 \leq 1400$ (exactament).
• Àcid fosfòric: $30 \cdot 20 + 10 \cdot 50 = 600 + 500 = 1100 \geq 600$ (satisfeita).
• Potassi soluble: $30 \cdot 20 + 60 \cdot 50 = 600 + 3000 = 3600 \geq 1800$ (satisfeita).

Totes les restriccions es compleixen, i el punt $(20, 50)$ maximitza el benefici.

Resposta final:

Per obtenir el benefici màxim, l’empresa ha de produir:

• $20$ bidons de Fertilitzant 1.
• $50$ bidons de Fertilitzant 2.

El benefici màxim serà: $$\boxed{370 \, \text{pessetes}}$$