Programació lineal. Empresa d’instal·lacions

Una empresa de instal·lacions disposa de 195 kg de coure, 20 kg de titani i 14 kg d’alumini. Per fabricar 100 m de cable de tipus A, se’n necessiten 10 kg de coure, 2 kg de titani i 1 kg d’alumini, i per fabricar 100 m de cable de tipus B, se’n necessiten 15 kg de coure, 1 kg de titani i 1 kg d’alumini. Para obtenir un benefici de 1500 €, se n’obté un benefici de 1000 €. Calcula quants metres de cable hi ha que fabricar de cada tipus perquè el benefici sigui màxim. Quina és aquest benefici?

• \( x \): metres de cable de tipus A

• \( y \): metres de cable de tipus B

Restriccions del problema: \[\begin{cases}x \geq 0 \\y \geq 0 \\10x + 15y \leq 195 \implies 2x + 3y \leq 39 \\2x + y \leq 20 \\x + y \leq 14\end{cases}\]

La regió factible és la zona ombrejada:

Calculem les coordenades dels vèrtexs \( B \) i \( C \):

• \( 2x + 3y = 39 \)- \( x + y = 14 \)\[\implies 3y – 2x + 42 – 3x = 0 \implies -5x = -42 \implies x = \frac{42}{5} = 8.4 \quad (\text{punt no enter, descartem})\]

• \( 2x + 3y = 39 \)- \( 2x + y = 20 \)\[\implies 2x + 3y – 6x – 3y = 0 \implies -4x = -78 \implies x = \frac{78}{4} = 19.5 \quad (\text{punt no enter, descartem})\]

• \( 2x + y = 20 \)- \( x + y = 14 \)\[\implies 2x + y – x – y = 0 \implies x = 6 \implies 6 + y = 14 \implies y = 8 \implies C(6, 8)\]

• \( 2x + 3y = 39 \)- \( x + y = 14 \)\[\implies 2x + 3y – 2x – 2y = 0 \implies y = 11 \implies x + 11 = 14 \implies x = 3 \implies B(3, 11)\]

La funció objectiu que s’ha de maximitzar és: \[F(x, y) = 1500x + 1000y\]- \( F(0, 13) = 13000 \)- \( F(3, 11) = 1500 \cdot 3 + 1000 \cdot 11 = 4500 + 11000 = 15500 \)- \( F(6, 8) = 1500 \cdot 6 + 1000 \cdot 8 = 9000 + 8000 = 17000 \)- \( F(10, 0) = 1500 \cdot 10 + 0 = 15000 \) El benefici màxim, que és de 17000 euros, s’obté en el punt \( C(6, 8) \).

Per tant, per obtenir el benefici màxim serà necessari fabricar 600 metres de cable del tipus A i 800 metres de cable del tipus B.