Probabilitats de Retards d’Autobusos amb Distribució Normal

Una companyia d’autobusos sap que el retard en l’arribada segueix una llei normal, de mitjana $\mu$ minuts, i que el 68,26\% dels autobusos arriben amb un retard comprès entre 2 i 8 minuts. a)] Quina és la desviació típica? b)] Quina és la probabilitat que un autobús arribi puntual o abans de l’hora? c)] Quina és la probabilitat que un autobús arribi amb un retard de més de 10 minuts?

Sigui $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ el retard en minuts.

a) Quina és la desviació típica?

El 68,26\% dels autobusos tenen un retard entre 2 i 8 minuts, que correspon a l’interval $[\mu – \sigma, \mu + \sigma]$:

\begin{equation}
\mu – \sigma = 2,
\end{equation}

\begin{equation}
\mu + \sigma = 8.
\end{equation}

Sumem les equacions (1) i (2):

$$2\mu = 10,$$

$$\mu = 5 \text{ min}.$$

Restem (2) – (1):

$$2\sigma = 6,$$

$$\sigma = 3 \text{ min}.$$

Per tant, $\mu = 5$ min i $\sigma = 3$ min.

b) Probabilitat que un autobús arribi puntual o abans de l’hora

Volem $P(X \leq 0)$:

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma},
\end{equation}

\begin{equation}
P(X \leq 0) = P\left( Z \leq \frac{0 – 5}{3} \right) = P(Z \leq -1,6667).
\end{equation}

Aproximem $Z \approx -1,67$:

$$P(Z \leq -1,67) \approx 0,0475.$$

c) Probabilitat que un autobús arribi amb un retard de més de 10 minuts

Volem $P(X > 10)$:

\begin{equation}
P(X > 10) = P\left( Z > \frac{10 – 5}{3} \right) = P(Z > 1,6667),
\end{equation}

$$P(Z > 1,67) = 1 – P(Z \leq 1,67) \approx 1 – 0,9525 = 0,0475.$$

Resposta final

• a)] Desviació típica: $\sigma = 3$ min.
• b)] Probabilitat d’arribar puntual o abans: $0,0475$ ($4,75\%$).
• c)] Probabilitat de retard superior a 10 minuts: $0,0475$ ($4,75\%$).