Càlcul de la Velocitat d’un Avió

Un avió vola horitzontalment a 6 km d’altura. La ruta de l’avió passa per la vertical d’un punt $P$ i se sap que, en l’instant en què la distància de l’avió a $P$ és 10 km, aquesta distància augmenta a raó de 6 km/minut. Troba la velocitat de l’avió, que suposarem constant. a)] Expressa $d$ en funció de $x$. b)] Obtén l’expressió de la velocitat d’allunyament de $P$, $d'(t)$, en funció de $x$ i de $x'(t)$. c)] Aïlla $x'(t_0)$ sent $t_0$ l’instant a què es refereix l’enunciat i, per tant, per al qual coneixem algunes dades numèriques. $x'(t_0)$ és la velocitat de l’avió en aquest instant i, per tant, la seva velocitat constant.

Considerem:

• $x(t)$: distància horitzontal de l’avió al punt $P$,
• $d(t)$: distància directa entre l’avió i $P$,
• $h = 6$ km: alçada de l’avió.

a) Expressa $d$ en funció de $x$

Formem un triangle rectangle. Pel teorema de Pitàgores:

$$d^2 = x^2 + h^2,$$

$$d^2 = x^2 + (6)^2,$$

$$d = \sqrt{x^2 + 36}.$$

b) Expressió de la velocitat d’allunyament $d'(t)$

Derivem $d = \sqrt{x^2 + 36}$ respecte al temps:

$$d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 36}} \cdot \frac{d}{dt} (x^2 + 36),$$

$$\frac{d}{dt} (x^2 + 36) = 2x \cdot x'(t),$$

$$d'(t) = \frac{2x \cdot x'(t)}{2\sqrt{x^2 + 36}} = \frac{x \cdot x'(t)}{\sqrt{x^2 + 36}}.$$

Com que $\sqrt{x^2 + 36} = d$:

$$d'(t) = \frac{x \cdot x'(t)}{d}.$$

c) Aïlla $x'(t_0)$

En l’instant $t_0$:

• $d = 10$ km,
• $d'(t_0) = 6$ km/min.

Trobem $x$ quan $d = 10$:

$$10 = \sqrt{x^2 + 36},$$

$$100 = x^2 + 36,$$

$$x^2 = 64,$$

$$x = 8 \text{ km}.$$

Substituint a $d'(t)$:

$$6 = \frac{8 \cdot x'(t_0)}{10},$$

$$60 = 8 \cdot x'(t_0),$$

$$x'(t_0) = \frac{60}{8} = 7,5 \text{ km/min}.$$

Resposta final

La velocitat de l’avió és $7,5$ km/min.