Programació lineal. Empresa ampolles de llet

Una empresa produeix ampolles de llet sencera i de llet desnatada i té una capacitat de producció màxima de 6000 ampolles al dia. Les condicions de l’empresa obliguen a que la producció d’ampolles de llet desnatada sigui, almenys, la cinquena part de les de llet sencera i, com a màxim, el triple de la mateixa. El benefici de l’empresa per ampolla de llet sencera és de 20 cèntims i per ampolla de llet desnatada és de 32 cèntims. Suposant que es ven tota la producció, determina la quantitat d’ampolles de cada tipus que proporciona un benefici màxim i l’import d’aquest benefici.

🔢 1. Definició de variables

• $x$: nombre d’ampolles de llet sencera produïdes per dia.
• $y$: nombre d’ampolles de llet desnatada produïdes per dia.

📋 2. Restriccions

1. Capacitat màxima de producció: $x + y \leq 6000$
2. Llet desnatada ha de ser almenys una cinquena part de la sencera: $y \geq \frac{1}{5}x$
3. Llet desnatada com a màxim el triple de la sencera: $y \leq 3x$
4. No negativitat: $x \geq 0,\quad y \geq 0$

🎯 3. Funció objectiu (benefici)

Cada botella de llet sencera genera 0,20 €, i cada botella de llet desnatada 0,32 €. Per tant: $$\text{Maximitzar } Z = 0.20x + 0.32y$$

🧠 4. Resolució

Podem resoldre aquest sistema trobant els vèrtexs del recinte factible i avaluant la funció objectiu a cadascun.

Transformem les desigualtats en igualtats per trobar punts d’intersecció:

Intersecció 1: $x + y = 6000$ i $y = \frac{1}{5}x$

Substituïm: $$x + \frac{1}{5}x = 6000 \Rightarrow \frac{6}{5}x = 6000 \Rightarrow x = 5000,\quad y = 1000$$

Intersecció 2: $x + y = 6000$ i $y = 3x$

Substituïm: $$x + 3x = 6000 \Rightarrow 4x = 6000 \Rightarrow x = 1500,\quad y = 4500$$

Intersecció 3: $y = \frac{1}{5}x$ i $y = 3x$

Només tenen una solució comuna trivial: $x = 0, y = 0$

📍 5. Punts crítics a considerar

✅ 6. Solució òptima

• La producció que maximitza el benefici és:
  • 1500 botelles de llet sencera
  • 4500 botelles de llet desnatada
• El benefici màxim és de 1.740 euros al dia