Problema sistema massa-molla

Considera un sistema massa-molla sense esmorteïment, on la massa val $\boldsymbol{M = 2\ \text{Kg}}$. Si l’equació que descriu l’energia cinètica del sistema en funció del temps és $\boldsymbol{Ec (t) = \cos^2 (t)\ \text{J}}$. Respon, justificant els teus resultats: a) L’energia potencial del sistema. Es conserva l’energia en aquest sistema? Per què? b) La freqüència $\boldsymbol{\omega}$ amb la que oscil·la la massa $\boldsymbol{M}$ i el valor de la constant elàstica $\boldsymbol{K}$ de la molla. c) La posició i la velocitat de la massa en funció del temps.

a) Com que no hi ha esmorteïment, els sistema massa-molla no perd energia, i descriu un moviment harmònic simple. L’energia del sistema és:

\begin{equation}\boxed{E_T=E_C+E_P}\ \textit{(conservació de l’energia)}\end{equation}

on $E_T$ és una magnitud constant (conservada). L’energia dels sistema és igual al màxim valor que pren l’energia cinètica (ja que tenim un m.h.s.), i per tant $\boxed{E_T=1\ \text{J}}$}.

Així doncs, l’energia potencial és:

\begin{equation}
E_P=-E_C+E_T=-\cos^2t+1\longrightarrow\boxed{E_P=\sin^2t\ \text{(J)}}
\end{equation}

b) Tenim un m.h.s. i per tant $v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$

\begin{equation}
E_C=\frac{1}{2}Mv^2=\cos^2t\rightarrow A^2\omega^2\cos^2(\omega t +\varphi)=\cos^2t\rightarrow\boxed{\omega=1\ \text{rad}}
\end{equation}

Com que $\omega^2= \displaystyle\frac{k}{m}\longrightarrow \boxed{k}=\omega^2m=\boxed{2\ N/m}$

c) A $t=0$, $E_C=1\ \text{J}$, $E_P=0\ \text{J}$: No sabem si la velocitat és ositiva o negativa, amb la informació que tenim. Aquesta incertesa s’ha de manigfestar a les solucions $x(t)$ i $v(t)$:

Efectivament, trobem que:

\begin{equation}x^2=\frac{2}{k}\cdot E_P(t)=\sin^2t\longrightarrow\boxed{x(t)=\pm\sin t\ (\text{m})}\end{equation}

\begin{equation}
v^2=\frac{2}{m}\cdot E_C(t)=\cos^2t\longrightarrow\boxed{v(t)=\pm\cos t\ (m/s)}
\end{equation}