Problema de probabilitat amb urnes

Dues urnes, $A$ i $B$, contenen boles de diferents colors amb la composició següent: l’urna $A$ conté 3 boles verdes, 3 boles vermelles i 4 boles negres, i l’urna $B$ conté 1 bola verda, 3 boles vermelles i 5 boles negres. S’extreu a l’atzar una bola de l’urna $A$ i es col·loca a l’urna $B$. A continuació, s’extreu a l’atzar una bola de l’urna $B$. a) Calculeu la probabilitat que la bola extreta de l’urna $B$ sigui $\textbf{negra}$, sabent que la bola que s’havia extret de l’urna $A$ era $\textbf{verda}$. b) Calculeu la probabilitat que la bola extreta de l’urna $B$ sigui $\textbf{negra}$. c) Calculeu la probabilitat que la bola extreta de l’urna $A$ fos $\textbf{verda}$, sabent que la bola extreta de l’urna $B$ ha estat $\textbf{negra}$.

Observem en primer lloc que l’urna $A$ té un total de 10 boles, de les quals 3 són verdes, 3 són vermelles i 4 són negres. L’urna $B$ té un total de 9 boles, de les quals 1 és verda, 3 són vermelles i 5 són negres.

Un cop s’ha extret a l’atzar una bola de l’urna $A$ i s’ha col·locat a l’urna $B$, l’urna $B$ conté un total de 10 boles, amb la composició següent:

• Cas 1: Si la bola extreta de $A$ ha estat verda, l’urna $B$ passa a tenir 2 boles verdes, 3 boles vermelles i 5 boles negres.
• Cas 2: Si la bola extreta de $A$ ha estat vermella, l’urna $B$ passa a tenir 1 bola verda, 4 boles vermelles i 5 boles negres.
• Cas 3: Si la bola extreta de $A$ ha estat negra, l’urna $B$ passa a tenir 1 bola verda, 3 boles vermelles i 6 boles negres.

a) Com que la bola que s’ha extret de l’urna $A$ era verda, significa que estem en el \textbf{Cas 1}, i la composició de l’urna $B$, un cop s’ha passat una bola verda de $A$ a $B$, és la següent: 2 boles verdes, 3 boles vermelles i 5 boles negres.

Per tant, en aquest cas, la probabilitat que la bola que s’extreu de $B$ sigui negra és:

$$\text{probabilitat} = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}} = \frac{\text{nº de boles negres a } B}{\text{nº total de boles a } B} = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Observem que, en aquest cas, estem calculant en realitat una \textbf{probabilitat condicionada}, ja que es tracta de:

$$P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 1}) = \frac{\text{nº de boles negres a } B \text{ en el Cas 1}}{\text{nº total de boles a } B} = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Aquesta observació no és estrictament necessària en aquest apartat, però sí que ho serà en els apartats següents.

b) En aquest apartat no sabem de quin color és la bola que s’ha passat de l’urna $A$ a l’urna $B$. Per tant, i seguint l’observació feta a l’apartat (a), hem d’utilitzar el \textbf{teorema de la probabilitat total} per veure que:

$$P(\text{Bola negra}) = P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 1}) \cdot P(\text{Cas 1}) + P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 2}) \cdot P(\text{Cas 2}) + P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 3}) \cdot P(\text{Cas 3})$$

A continuació calculem cadascuna d’aquestes probabilitats.

Com que el $\textbf{Cas 1}$ correspon al cas en què la bola extreta de $A$ és verda, tenim:

$$P(\text{Cas 1}) = P(\text{extreure una bola verda de } A) = \frac{\text{nº de boles verdes a } A}{\text{nº total de boles a } A} = \frac{3}{10}$$

A més, en aquest cas:

$$P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 1}) = \frac{\text{nº de boles negres a } B \text{ en el Cas 1}}{\text{nº total de boles a } B} = \frac{5}{10}$$

De manera anàloga, com que el $\textbf{Cas 2}$ correspon al cas en què la bola extreta de $A$ és vermella, es té:

$$P(\text{Cas 2}) = P(\text{extreure una bola vermella de } A) = \frac{\text{nº de boles vermelles a } A}{\text{nº total de boles a } A} = \frac{3}{10}$$

En aquest cas es té:

$$P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 2}) = \frac{\text{nº de boles negres a } B \text{ en el Cas 2}}{\text{nº total de boles a } B} = \frac{5}{10}$$

Finalment, com que el $\textbf{Cas 3}$ correspon al cas en què la bola extreta de $A$ és negra, tenim:

$$P(\text{Cas 3}) = P(\text{extreure una bola negra de } A) = \frac{\text{nº de boles negres a } A}{\text{nº total de boles a } A} = \frac{4}{10}$$

En aquest cas es té:

$$P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 3}) = \frac{\text{nº de boles negres a } B \text{ en el Cas 3}}{\text{nº total de boles a } B} = \frac{6}{10}$$

En conclusió:

$$P(\text{Bola negra}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{15 + 15 + 24}{100} = \frac{54}{100} = 0{,}54$$

c) Es tracta també d’una $\textbf{probabilitat condicionada}$, però en aquest cas ens demanen:

$$P(\text{Cas 1} \mid \text{Bola negra})$$

Per calcular-la, observem que:

$$P(\text{Cas 1} \mid \text{Bola negra}) = \frac{P(\text{Cas 1} \cap \text{Bola negra})}{P(\text{Bola negra})} = \frac{P(\text{Bola negra} \cap \text{Cas 1})}{P(\text{Bola negra})}$$

$$= \frac{P(\text{Bola negra} \mid \text{Cas 1}) \cdot P(\text{Cas 1})}{P(\text{Bola negra})} = \frac{\frac{5}{10} \cdot \frac{3}{10}}{\frac{54}{100}} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18} \approx 0{,}2778$$