Programació lineal. Empresa de frigorífics

Una empresa fabrica dos models de frigorífics, A i B. Per a la seva fabricació, l’empresa necessita un departament de muntatge i un departament de pintura. Cada departament disposa setmanalment de 100 hores. Un frigorífic del model A necessita 3 hores al departament de muntatge i 1 hora al departament de pintura, mentre que un frigorífic del model B necessita 1 hora i 2 hores, respectivament, en cada departament. Es demana: a) Quina quantitat de cada model ha de produir l’empresa per tal de maximitzar els seus beneficis, si el benefici per cada frigorífic del model A és de 500 euros i per cada frigorífic del model B és de 400 euros? b) Quin és aquest benefici màxim?

Una empresa fabrica dos models de frigorífics, A i B. Per a la seva fabricació es necessiten dos departaments: muntatge i pintura. Cada departament disposa de 100 hores setmanals.

• Un frigorífic del model A necessita 3 hores de muntatge i 1 hora de pintura.
• Un frigorífic del model B necessita 1 hora de muntatge i 2 hores de pintura.
• El benefici per cada frigorífic del model A és de 500 euros.
• El benefici per cada frigorífic del model B és de 400 euros.

Es demana:

• a) Quina quantitat de cada model s’ha de produir per tal de maximitzar el benefici?
• b) Quin és aquest benefici màxim?

Plantejament del problema

Sigui:

• $x$: nombre de frigorífics del model A.
• $y$: nombre de frigorífics del model B.

Funció objectiu:
$$\text{Maximitzar } Z = 500x + 400y$$

Restriccions:
$$\begin{cases}
3x + y \leq 100 & \text{(muntatge)} \\
x + 2y \leq 100 & \text{(pintura)} \\
x \geq 0, \quad y \geq 0 & \text{(no negativitat)}
\end{cases}$$

Perfecte! Aquí tens la taula de restriccions escrita en català i en format simple (sense LaTeX):

📋 Restriccions del problema

• On:
  • $x$: nombre de frigorífics del model $A$
  • $y$: nombre de frigorífics del model $B$

Resolució

Trobem els punts de tall i d’intersecció:

• \item Intersecció de:$$\begin{cases}3x + y = 100 \\ x + 2y = 100 \end{cases}\Rightarrow (x, y) = (20, 40)$$

Altres punts rellevants:

• $(0, 0)$
• $(0, 50)$ (de $x + 2y = 100$)
• $(33.\overline{3}, 0)$ (de $3x + y = 100$)

Avaluació de la funció objectiu:

$$\begin{array}{lcl}
Z(0, 0) &=& 0 \\
Z(0, 50) &=& 500(0) + 400(50) = 20\,000 \\
Z(20, 40) &=& 500(20) + 400(40) = 10\,000 + 16\,000 = 26\,000 \\
Z(33.\overline{3}, 0) &=& 500(33.\overline{3}) = 16\,665
\end{array}$$

Conclusió

• a) La solució òptima és fabricar \textbf{20 frigorífics del model A} i \textbf{40 del model B}.
• b) El benefici màxim és de \textbf{26.000 euros}.