Problema Taylor Swift sobre sistemes d’equacions

Taylor Swift té un total de 435 milions de seguidors a les tres següents xarxes socials: Instagram, X (antic Twitter) i YouTube. Si guanyés a Instagram tants seguidors com la meitat dels que té a YouTube, el nombre de seguidors a Instagram seria el doble de la suma dels que té a X i a YouTube. A més, si Taylor rebés cada mes 10 dòlars per cada milió de seguidors a Instagram, 20 dòlars per cada milió de seguidors a X i 30 dòlars per cada milió de seguidors a YouTube, tindria uns ingressos mensuals de 6.500 dòlars. Calculeu quants seguidors té Taylor Swift a cada una d’aquestes xarxes socials.

Es tracta d’un sistema de tres equacions amb tres incògnites, on les incògnites són el nombre de seguidors que Taylor Swift té a cadascuna de les tres següents xarxes socials: Instagram, X (antic Twitter) i YouTube. Denotem per $x$ el nombre de seguidors que té a Instagram, per $y$ el nombre de seguidors que té a X i per $z$ el nombre de seguidors que té a YouTube, tots ells expressats en “milions de seguidors”.

El primer dada de l’exercici és que “Taylor Swift té un total de 435 milions de seguidors”, que dóna lloc a la primera equació:
$$x + y + z = 435$$

El segon dada de l’exercici és que “si guanyés a Instagram tants seguidors com la meitat dels que té a YouTube, el nombre de seguidors a Instagram seria el doble de la suma dels que té a X i a YouTube”, que dóna lloc a la segona equació:
$$x + \frac{z}{2} = 2(y + z) \Rightarrow 2x – 4y – 3z = 0$$

El tercer dada de l’exercici és que “si Taylor rebés cada mes 10 dòlars per cada milió de seguidors a Instagram, 20 dòlars per cada milió de seguidors a X i 30 dòlars per cada milió de seguidors a YouTube, tindria uns ingressos mensuals de 6.500 dòlars”, que dóna lloc a la tercera equació:
$$10x + 20y + 30z = 6.500 \Rightarrow x + 2y + 3z = 650.$$

Per tant, cal resoldre el següent sistema lineal d’equacions:
$$\left\{\begin{array}{l}x + y + z = 435 \\ 2x – 4y – 3z = 0 \\ x + 2y + 3z = 650\end{array}\right.$$

El sistema es pot resoldre pel mètode que es desitgi. En aquest cas, optem pel que pensem que millor s’adapta al sistema, el mètode de Gauss, però qualsevol mètode utilitzat, sent correcte, és vàlid:

$$\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 435 \\
2 & -4 & -3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 650
\end{array}\right)\overset{\text{F2 – 2F1; F3 – F1}}{\Longrightarrow}\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 435 \\
0 & -6 & -5 & -870 \\
0 & 1 & 2 & 215
\end{array}
\right)$$

$$\overset{F2 \leftrightarrow F3}{
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 435 \\
0 & 1 & 2 & 215 \\
0 & -6 & -5 & -870
\end{array}
\right)
}$$
$$\overset{F3 + 6F2}{
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 435 \\
0 & 1 & 2 & 215 \\
0 & 0 & 7 & 420
\end{array}
\right)
}$$

Resolem escalonadament. De la tercera equació tenim $z = \frac{420}{7} = 60$. Utilitzant aquest valor de $z$ a la segona equació obtenim $y = 215 – 120 = 95$. Finalment, substituint els valors de $y$ i $z$ a la primera equació tenim $x = 435 – 95 – 60 = 280$.

Per tant, Taylor Swift té 280 milions de seguidors a Instagram, 95 milions a X i 60 milions a YouTube.

Per descomptat, també es pot resoldre pel mètode de Cramer. Per això, escrivim el sistema en forma matricial, de manera que la matriu ampliada del sistema és:
$$A^* = \left( A | b \right) =
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 435 \\
2 & -4 & -3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 650
\end{array}
\right)$$

El determinant de $A$ és:
$$|A| =
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & -4 & -3 \\
1 & 2 & 3
\end{array}
\right|
= -12 + 4 – 3 + 4 + 6 – 6 = -7 \neq 0$$

La solució del sistema per Cramer és:
$$x = \frac{1}{-7}
\left|
\begin{array}{ccc}
435 & 1 & 1 \\
0 & -4 & -3 \\
650 & 2 & 3
\end{array}
\right|
= \frac{-5220 – 1950 + 2600 + 2610}{-7} = \frac{-1960}{-7} = 280$$

$$y = \frac{1}{-7}
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 435 & 1 \\
2 & 0 & -3 \\
1 & 650 & 3
\end{array}
\right|
= \frac{1300 – 1305 + 1950 – 2610}{-7} = \frac{-665}{-7} = 95$$

$$z = \frac{1}{-7}
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 435 \\
2 & -4 & 0 \\
1 & 2 & 650
\end{array}
\right|
= \frac{-2600 + 1740 + 1740 – 1300}{-7} = \frac{-420}{-7} = 60$$