Límits i intervals de creixement i decreixement d’una funció

Considerem la funció $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 – 2x + 3}$, definida per a tot valor de $x \in \mathbb{R}$.

a) Calculeu el límit $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ i el límit $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

b) Determineu els intervals de creixement i/o decreixement de la funció $f(x)$ i calculeu els seus extrems relatives (màxims i mínims relatius).

c) Justifiqueu que la funció arriba als seus extrems absoluts (màxim i mínim absoluts) i calculeu el valor d’aquests extrems absoluts.

Considerem la funció:

$$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 – 2x + 3}$$

a) Límit de la funció quan $x \to -\infty$ i $x \to +\infty$:

Per calcular els límits de $f(x)$ quan $x \to -\infty$ i $x \to +\infty$, observem el comportament del numerador i del denominador per a valors molt grans (positius i negatius) de $x$.

Límit quan $x \to +\infty$:

Quan $x \to +\infty$, els termes de major grau dominen en el numerador i el denominador. Per tant, podem observar els termes de major grau en ambdós.

• Numerador: $2x^2$
• Denominador: $x^2 – 2x + 3$

Quan $x \to \infty$, els termes $-2x + 3$ es tornen insignificants en comparació amb $x^2$. Així que, la funció es comporta com:

$$f(x) \sim \frac{2x^2}{x^2} = 2$$

Per tant, el límit és:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$$

Límit quan $x \to -\infty$:

De manera similar, per a $x \to -\infty$, el numerador i el denominador tenen termes de grau $x^2$, i els termes lineals i constants es tornen irrellevants. Per tant:

$$f(x) \sim \frac{2x^2}{x^2} = 2$$

Per tant, el límit és:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$$

Resum de la part a:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$$

b) Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatives:

Per trobar els intervals de creixement i decreixement de la funció, primer hem de calcular la seva derivada.

Derivada de la funció $f(x)$:

Fem servir la regla del cocient per derivar la funció. Si $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, llavors la derivada és:

$$f'(x) = \frac{g'(x) h(x) – g(x) h'(x)}{[h(x)]^2}$$

En aquest cas, $g(x) = 2x^2$ i $h(x) = x^2 – 2x + 3$. Derivem cada un:

• $g'(x) = 4x$
• $h'(x) = 2x – 2$

Per tant:

$$f'(x) = \frac{(4x)(x^2 – 2x + 3) – (2x^2)(2x – 2)}{(x^2 – 2x + 3)^2}$$

Ara simplifiquem el numerador:

$$(4x)(x^2 – 2x + 3) = 4x^3 – 8x^2 + 12x$$
$$(2x^2)(2x – 2) = 4x^3 – 4x^2$$

Aleshores:

$$f'(x) = \frac{4x^3 – 8x^2 + 12x – (4x^3 – 4x^2)}{(x^2 – 2x + 3)^2}$$

Simplificant el numerador:

$$f'(x) = \frac{4x^3 – 8x^2 + 12x – 4x^3 + 4x^2}{(x^2 – 2x + 3)^2}$$
$$f'(x) = \frac{-4x^2 + 12x}{(x^2 – 2x + 3)^2}$$

Estudi dels signes de $f'(x)$:

La derivada $f'(x) = \frac{-4x^2 + 12x}{(x^2 – 2x + 3)^2}$ té un denominador sempre positiu perquè $(x^2 – 2x + 3)^2 > 0$ per a qualsevol valor de $x$. Per tant, només cal estudiar el signe del numerador:

$$-4x^2 + 12x = -4x(x – 3)$$

Els punts crítics són $x = 0$ i $x = 3$. Ara, avaluem el signe de $f'(x)$ als intervals determinats per aquests punts: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$, i $(3, +\infty)$.

1. Interval $(-\infty, 0)$: Si $x < 0$, llavors $-4x(x – 3) > 0$, la qual cosa implica que $f'(x) > 0$, és a dir, la funció és creixent.
2. Interval $(0, 3)$: Si $0 < x < 3$, llavors $-4x(x – 3) < 0$, la qual cosa implica que $f'(x) < 0$, és a dir, la funció és decreixent.
3. Interval $(3, +\infty)$: Si $x > 3$, llavors $-4x(x – 3) > 0$, la qual cosa implica que $f'(x) > 0$, és a dir, la funció és creixent.

Punts extrems relatives:

• La funció té un màxim relatiu en $x = 0$, ja que la derivada passa de positiva a negativa.
• La funció té un mínim relatiu en $x = 3$, ja que la derivada passa de negativa a positiva.

Resum de la part b:

$$\text{La funció és creixent als intervals } (-\infty, 0) \text{ i } (3, +\infty).$$
$$\text{La funció és decreixent a l’interval } (0, 3)$$.
$$\text{Té un màxim relatiu en } x = 0 \text{ i un mínim relatiu en } x = 3.$$

c) Extrems absoluts:

Per determinar els extrems absoluts, hem d’estudiar el comportament de la funció als límits $x \to -\infty$ i $x \to +\infty$, i també comparar els valors als punts crítics.

Sabem que:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$$

Aleshores, el valor de la funció als extrems de la recta és $2$. Ara, avaluem $f(x)$ als punts crítics $x = 0$ i $x = 3$:

• En $x = 0$:

$$f(0) = \frac{2(0)^2}{(0)^2 – 2(0) + 3} = \frac{0}{3} = 0$$

• En $x = 3$:

$$f(3) = \frac{2(3)^2}{(3)^2 – 2(3) + 3} = \frac{18}{6} = 3$$

Conclusió de la part c:

$$\text{El mínim absolut és } (0, 0)$$
$$\text{El màxim absolut és } (3, 3)$$