Problema sobre moment angular i moviment planetari. Segona llei de Kepler

Un planeta imaginari es mou en una òrbita el·líptica de molta excentricitat al voltant del Sol (Fig. 3.22). Quan està en periheli el seu radi vector és \( r_a = 4,0 \cdot 10^7 \, \text{km} \), i quan està en afeli, \( r_b = 15 \cdot 10^7 \, \text{km} \). Si la velocitat en periheli és 1000 km/s, calcula: a) La velocitat en la posició d’afeli. b) La velocitat areolar del planeta. c) El semieix major de l’òrbita.

a) Com que el planeta està sotmès a una força central exercida per el Sol, el moment angular del planeta ha de ser constant. En les posicions \( a \) i \( b \), la velocitat és perpendicular a \( r \). Per tant, el mòdul del moment angular en aquestes posicions és:\[L_a = r_a m v_a \sin 90^\circ \bigg\} r_a v_a = r_b v_b\]\[L_b = r_b m v_b \sin 90^\circ \bigg\} r_a v_a = r_b v_b\]D’on se’n dedueix que:\[v_b = \frac{r_a v_a}{r_b} = \frac{4 \cdot 10^7 \, \text{km} \cdot 10^3 \, \text{km/s}}{15 \cdot 10^7 \, \text{km}} = 2,7 \cdot 10^2 \, \text{km/s}\]És a dir, se compleix la conseqüència de la llei de les àrees, segons la qual el planeta que gira al voltant del Sol va més de pressa quan es troba en periheli que en afeli.

b) La velocitat areolar és:\[\frac{\text{d}A}{\text{d}t} = \frac{\left|\vec{L}\right|}{2m} = \frac{10^3 \, \text{km/s} \cdot 4 \cdot 10^7 \, \text{km}}{2} = 2 \cdot 10^{10} \, \text{km}^2/\text{s}\]

c) El semieix major de l’el·lipse és la semisuma de \( r_a \) i \( r_b \):\[a = \frac{r_a + r_b}{2} = \frac{4 \cdot 10^7 \, \text{km} + 15 \cdot 10^7 \, \text{km}}{2} = 9,5 \cdot 10^7 \, \text{km}\]