Problema sobre efecte fotoel·lèctric

La funció de treball (energia o treball dextracció) del sodi és $2,28$ eV, mentre que la del zinc és $4,3$ eV. Imagineu que il·luminem la superfície d’aquests metalls amb llum de longitud d’ona $400$ nm. Es demana: a) Determineu si s’emetran fotoelectrons en algun d’aquests dos metalls. b) En cas que algun d’aquests metalls emeti fotoelectrons (o tots dos), calculeu-ne el potencial de frenada en V. c) Calculeu la velocitat a què són emesos els fotoelectrons, si és el cas (en m/s). Aquesta velocitat pot suposar com a molt menor que la velocitat de la llum i, per tant, ignorar efectes relativistes.

Dades clau:

• Funció de treball del sodi: $W_{\text{sodi}} = 2.28 \, \text{eV}$
• Funció de treball del zinc: $W_{\text{zinc}} = 4.3 \, \text{eV}$
• Longitud d’ona de la llum: $\lambda = 400 \, \text{nm} = 400 \times 10^{-9} \, \text{m}$
• Constant de Planck: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$
• Velocitat de la llum: $c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$
• $1 \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}$

a) Determinar si s’emetran fotoelectrons

L’energia dels fotons de la llum es calcula amb la fórmula:

$$E_f = \frac{h c}{\lambda}$$

Substituïm els valors:

$E_f = \frac{(6.626 \times 10^{-34}) (3.00 \times 10^8)}{400 \times 10^{-9}} = 4.97 \times 10^{-19} \, \text{J}$$

Convertim l’energia a eV:

$$E_f = \frac{4.97 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx 3.10 \, \text{eV}$$

Comprovem si aquesta energia és superior a les funcions de treball:

• Sodi: $E_f = 3.10 \, \text{eV} > W_{\text{sodi}} = 2.28 \, \text{eV}$, per tant, s’emetran fotoelectrons.
• Zinc: $E_f = 3.10 \, \text{eV} < W_{\text{zinc}} = 4.3 \, \text{eV}$, per tant, no s’emetran fotoelectrons.

b) Potencial de frenada

Per al sodi, ja que $E_f > W_{\text{sodi}}$, podem calcular el potencial de frenada utilitzant la fórmula:

$$e V_f = E_f – W$$

Aïllant $V_f$:

$$V_f = \frac{E_f – W_{\text{sodi}}}{e} = \frac{3.10 \, \text{eV} – 2.28 \, \text{eV}}{1} = 0.822 \, \text{V}$$

Per al zinc, com no s’emeten fotoelectrons, no hi ha potencial de frenada.

c) Velocitat dels fotoelectrons

La velocitat dels fotoelectrons es calcula a partir de l’energia cinètica:

$$E_{\text{cin}} = \frac{1}{2} m_e v^2$$]

On $E_{\text{cin}} = E_f – W_{\text{sodi}}$, de manera que podem calcular $v$:

$$E_{\text{cin}} = (3.10 – 2.28) \, \text{eV} = 0.82 \, \text{eV}$$

Convertim $E_{\text{cin}}$ a joules:

$$E_{\text{cin}} = 0.82 \, \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} = 1.314 \times 10^{-19} \, \text{J}$$

Despejant $v$:

$$v = \sqrt{\frac{2 E_{\text{cin}}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.314 \times 10^{-19}}{9.109 \times 10^{-31}}}$$

$$v \approx 5.38 \times 10^5 \, \text{m/s}$$

Per tant, la velocitat dels fotoelectrons emesos pel sodi és $v \approx 5.38 \times 10^5 \, \text{m/s}$.

Resum:

• Sodi: Emissió de fotoelectrons confirmada, amb un potencial de frenada de $V_f = 0.822 \, \text{V}$ i una velocitat dels fotoelectrons de $v = 5.38 \times 10^5 \, \text{m/s}$.
• Zinc: No s’emetran fotoelectrons.