Moment angular i quantitat d’energia satèl·lit artificial

Moment angular i quantitat d’energia satèl·lit artificial
28 de setembre de 2024 No hi ha comentaris Camp gravitatori, Física Oscar Alex Fernandez Mora

Un satèl·lit artificial de massa $m = 800$ kg descriu una òrbita circular al voltant de la Terra, a una altura $h = 400$ km sobre la seva superfície. a) Calcula el mòdul del moment angular del satèl·lit respecte al centre de la Terra. Si l’òrbita és al pla equatorial, quina adreça té el vector moment angular $L$? És $L$ un vector constant? Per què? b) Determina la quantitat d’energia que cal subministrar perquè passi a estar en una nova òrbita amb una alçada $h = 800$ km.

a) Càlcul del moment angular $L$ del satèl·lit:

El moment angular d’un objecte en òrbita circular es calcula amb la següent expressió:

$$L = m \cdot v \cdot r$$

On:

  • $m = 800 \, \text{kg}$ és la massa del satèl·lit,
  • $v$ és la velocitat orbital,
  • $r$ és la distància des del centre de la Terra fins al satèl·lit.

La distància $r$ des del centre de la Terra fins al satèl·lit es calcula sumant el radi de la Terra i l’altura del satèl·lit sobre la superfície:

$$r = R_T + h = 6371 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6771 \, \text{km} = 6,771 \times 10^6 \, \text{m}$$

Càlcul de la velocitat orbital $v$:

La velocitat orbital d’un satèl·lit en òrbita circular es calcula amb la fórmula:

$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$$

On:

  • $G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \, \text{kg}^{-1} \, \text{s}^{-2}$ és la constant de gravitació universal,
  • $M_T = 5,972 \times 10^{24} \, \text{kg}$ és la massa de la Terra,
  • $r = 6,771 \times 10^6 \, \text{m}$ és la distància des del centre de la Terra al satèl·lit.

Substituïm els valors:

$$v = \sqrt{\frac{(6,674 \times 10^{-11}) (5,972 \times 10^{24})}{6,771 \times 10^6}} \approx 7,668 \times 10^3 \, \text{m/s}$$

Càlcul del moment angular:

Ara podem calcular el moment angular $L$:

$$L = m \cdot v \cdot r = (800 \, \text{kg}) \cdot (7,668 \times 10^3 \, \text{m/s}) \cdot (6,771 \times 10^6 \, \text{m})$$

$$L \approx 4,15 \times 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$

Direcció del vector $L$:

Com que l’òrbita es troba en el pla equatorial, el vector moment angular $L$ serà perpendicular a aquest pla, alineat amb l’eix de rotació de la Terra. Seguint la regla de la mà dreta, la seva direcció serà cap al pol nord.

És $L$ un vector constant?

Sí, $L$ és un vector constant en magnitud i direcció, sempre que l’òrbita sigui perfectament circular i no hi hagi forces externes significatives (com fricció atmosfèrica o interaccions gravitacionals amb altres cossos) que alterin el moviment del satèl·lit. Això és degut a la conservació del moment angular, que es manté constant si no hi ha torques externs.


b) Càlcul de l’energia necessària per passar a una òrbita de $h = 800 \, \text{km}$:

Per canviar l’òrbita del satèl·lit, cal calcular la diferència d’energia mecànica total $E_{\text{mec}}$ entre les dues òrbites. L’energia mecànica total d’un satèl·lit en òrbita circular es pot expressar com:

$$E_{\text{mec}} = \frac{-G M_T m}{2r}$$

On:

  • $r = R_T + h$ és la distància des del centre de la Terra a l’òrbita.

Per a l’òrbita inicial a $h = 400 \, \text{km}$, tenim:

$$r_1 = R_T + h_1 = 6371 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6771 \, \text{km} = 6,771 \times 10^6 \, \text{m}$$

L’energia mecànica en aquesta òrbita és:

$$E_{\text{mec1}} = \frac{-G M_T m}{2 r_1} = \frac{-(6,674 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})(800)}{2 \cdot 6,771 \times 10^6}$$

$$E_{\text{mec1}} \approx -2,36 \times 10^{10} \, \text{J}$$

Per a l’òrbita final a $h = 800 \, \text{km}$:

$$r_2 = R_T + h_2 = 6371 \, \text{km} + 800 \, \text{km} = 7171 \, \text{km} = 7,171 \times 10^6 \, \text{m}$$

L’energia mecànica en la nova òrbita és:

$$E_{\text{mec2}} = \frac{-G M_T m}{2 r_2} = \frac{-(6,674 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})(800)}{2 \cdot 7,171 \times 10^6}$$

$$E_{\text{mec2}} \approx -2,23 \times 10^{10} \, \text{J}$$

Energia necessària per canviar d’òrbita:

La quantitat d’energia que cal subministrar és la diferència entre l’energia mecànica final i la inicial:

$$\Delta E = E_{\text{mec2}} – E_{\text{mec1}} = -2,23 \times 10^{10} – (-2,36 \times 10^{10})$$

$$\Delta E \approx 1,3 \times 10^9 \, \text{J}$$

Per tant, serà necessari subministrar $1,3 \times 10^9 \, \text{J}$ d’energia perquè el satèl·lit passi d’una òrbita de $400$ km a una òrbita de $800$ km sobre la superfície terrestre.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *