LEMNISCATA
Matemàtiques
Un satèl·lit artificial de massa $m = 800$ kg descriu una òrbita circular al voltant de la Terra, a una altura $h = 400$ km sobre la seva superfície. a) Calcula el mòdul del moment angular del satèl·lit respecte al centre de la Terra. Si l’òrbita és al pla equatorial, quina adreça té el vector moment angular $L$? És $L$ un vector constant? Per què? b) Determina la quantitat d’energia que cal subministrar perquè passi a estar en una nova òrbita amb una alçada $h = 800$ km.
El moment angular d’un objecte en òrbita circular es calcula amb la següent expressió:
$$L = m \cdot v \cdot r$$
On:
La distància $r$ des del centre de la Terra fins al satèl·lit es calcula sumant el radi de la Terra i l’altura del satèl·lit sobre la superfície:
$$r = R_T + h = 6371 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6771 \, \text{km} = 6,771 \times 10^6 \, \text{m}$$
La velocitat orbital d’un satèl·lit en òrbita circular es calcula amb la fórmula:
$$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$$
On:
Substituïm els valors:
$$v = \sqrt{\frac{(6,674 \times 10^{-11}) (5,972 \times 10^{24})}{6,771 \times 10^6}} \approx 7,668 \times 10^3 \, \text{m/s}$$
Ara podem calcular el moment angular $L$:
$$L = m \cdot v \cdot r = (800 \, \text{kg}) \cdot (7,668 \times 10^3 \, \text{m/s}) \cdot (6,771 \times 10^6 \, \text{m})$$
$$L \approx 4,15 \times 10^{13} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$
Com que l’òrbita es troba en el pla equatorial, el vector moment angular $L$ serà perpendicular a aquest pla, alineat amb l’eix de rotació de la Terra. Seguint la regla de la mà dreta, la seva direcció serà cap al pol nord.
Sí, $L$ és un vector constant en magnitud i direcció, sempre que l’òrbita sigui perfectament circular i no hi hagi forces externes significatives (com fricció atmosfèrica o interaccions gravitacionals amb altres cossos) que alterin el moviment del satèl·lit. Això és degut a la conservació del moment angular, que es manté constant si no hi ha torques externs.
Per canviar l’òrbita del satèl·lit, cal calcular la diferència d’energia mecànica total $E_{\text{mec}}$ entre les dues òrbites. L’energia mecànica total d’un satèl·lit en òrbita circular es pot expressar com:
$$E_{\text{mec}} = \frac{-G M_T m}{2r}$$
On:
Per a l’òrbita inicial a $h = 400 \, \text{km}$, tenim:
$$r_1 = R_T + h_1 = 6371 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6771 \, \text{km} = 6,771 \times 10^6 \, \text{m}$$
L’energia mecànica en aquesta òrbita és:
$$E_{\text{mec1}} = \frac{-G M_T m}{2 r_1} = \frac{-(6,674 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})(800)}{2 \cdot 6,771 \times 10^6}$$
$$E_{\text{mec1}} \approx -2,36 \times 10^{10} \, \text{J}$$
Per a l’òrbita final a $h = 800 \, \text{km}$:
$$r_2 = R_T + h_2 = 6371 \, \text{km} + 800 \, \text{km} = 7171 \, \text{km} = 7,171 \times 10^6 \, \text{m}$$
L’energia mecànica en la nova òrbita és:
$$E_{\text{mec2}} = \frac{-G M_T m}{2 r_2} = \frac{-(6,674 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})(800)}{2 \cdot 7,171 \times 10^6}$$
$$E_{\text{mec2}} \approx -2,23 \times 10^{10} \, \text{J}$$
La quantitat d’energia que cal subministrar és la diferència entre l’energia mecànica final i la inicial:
$$\Delta E = E_{\text{mec2}} – E_{\text{mec1}} = -2,23 \times 10^{10} – (-2,36 \times 10^{10})$$
$$\Delta E \approx 1,3 \times 10^9 \, \text{J}$$
Per tant, serà necessari subministrar $1,3 \times 10^9 \, \text{J}$ d’energia perquè el satèl·lit passi d’una òrbita de $400$ km a una òrbita de $800$ km sobre la superfície terrestre.