Força atracció, potencial gravitatori i energia mecànica d’un satèl·lit

Un satèl·lit artificial de $200$ kg descriu una òrbita circular al voltant de la Terra. La velocitat d’escapament a l’atracció terrestre des d’aquesta òrbita és la meitat que la velocitat d’escapament des de la superfície terrestre. a) Calculeu la força d’atracció entre la Terra i el satèl·lit. b) Calculeu el potencial gravitatori en l’òrbita del satèl·lit. c) Calculeu l’energia mecànica del satèl·lit a l’òrbita. d) És un satèl·lit geoestacionari? Justifiqueu la resposta.

Dades inicials:

• Massa del satèl·lit: $m = 200 \, \text{kg}$
• Massa de la Terra: $M_T = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}$
• Radi de la Terra: $R_T = 6.371 \times 10^6 \, \text{m}$
• Constant de gravitació universal: $G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \, \text{kg}^{-1} \, \text{s}^{-2}$

Esmenta que la velocitat d’escapament des de la seva òrbita és la meitat de la velocitat d’escapament des de la superfície terrestre. Primer, calculem aquesta velocitat.

Velocitat d’escapament des de la superfície terrestre:

$$v_{\text{esc, superfície}} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}$$

Substituint els valors:

$$v_{\text{esc, superfície}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{6.371 \times 10^6}} \approx 11185.73 \, \text{m/s}$$

Radi de l’òrbita del satèl·lit:

Com que la velocitat d’escapament a la seva òrbita és la meitat de la velocitat d’escapament des de la superfície, tenim:

$$v_{\text{esc, òrbita}} = \frac{1}{2} v_{\text{esc, superfície}} = \frac{1}{2} \times 11185.73 \, \text{m/s} \approx 5592.86 \, \text{m/s}$$

La velocitat d’escapament des d’una òrbita a distància $r$ és:

$$v_{\text{esc, òrbita}} = \sqrt{\frac{2GM_T}{r}}$$

Despejant $r$:

$$r = \frac{2GM_T}{v_{\text{esc, òrbita}}^2}$$

Substituïm els valors:

$$r = \frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(5592.86)^2} \approx 25.484 \times 10^6 \, \text{m}$$

El radi de l’òrbita del satèl·lit és (r = 25.484 \, \text{km}).

a) Força d’atracció entre la Terra i el satèl·lit:

La força gravitatòria es calcula amb la llei de gravitació universal:

$$F = \frac{G M_T m}{r^2}$$

Substituïm els valors:

$$F = \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 200}{(25.484 \times 10^6)^2} \approx 122.74 \, \text{N}$$

La força d’atracció entre la Terra i el satèl·lit és $F = 122.74 \, \text{N}$.

b) Potencial gravitatori en l’òrbita del satèl·lit:

El potencial gravitatori $V_g$ a la distància $r$ de la Terra és:

$$V_g = -\frac{GM_T}{r}$$

Substituïm els valors:

$$V_g = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{25.484 \times 10^6} \approx -15.64 \times 10^6 \, \text{J/kg}$$

El potencial gravitatori en aquesta òrbita és $V_g \approx -15.64 \times 10^6 \, \text{J/kg}$.

c) Energia mecànica del satèl·lit en l’òrbita:

L’energia mecànica total $E_m$ en una òrbita circular és la suma de l’energia cinètica i l’energia potencial, i es pot expressar com:

$$E_m = -\frac{GM_T m}{2r}$$

Substituïm els valors:

$$E_m = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 200}{2 \times 25.484 \times 10^6} \approx -1.56 \times 10^9 \, \text{J}$$

L’energia mecànica total del satèl·lit és $E_m \approx -1.56 \times 10^9 \, \text{J}$.

d) És un satèl·lit geoestacionari?

Un satèl·lit geoestacionari es troba en una òrbita amb un radi de $42.164$ km des del centre de la Terra. El satèl·lit de l’enunciat té un radi d’òrbita de $25.484$ km, que és molt inferior al necessari per ser geoestacionari.

Per tant, aquest satèl·lit no és geoestacionari.