LEMNISCATA
Matemàtiques
a) Calculeu l’esforç $\sigma$ en MPa i la deformació unitària $\varepsilon$ d’una barra de titani de $255$ mm$^2$ de secció, que suporta una càrrega axial de $65$ kN, sabent que el mòdul d’elasticitat val $107$ GPa. b) Calculeu l’àrea de l’empremta que deixa la bola d’acer emprada en un assaig de Brinell, en mm$^2$, sabent que la duresa del material és de $135$ kp/mm$^2$ i que se sotmet a una força de $60$ kN durant $20$ segons; la profunditat de la petjada (casquet esfèric) és $f=0.6$ mm. Expresseu la duresa segons la norma. Considereu $g=9.81$ m/s$^2$. c) Calculeu la massa d’un pèndol de Charpy utilitzat en un assaig de resiliència. Tenint en compte que s’utilitzaven provetes de $400$ mm$^2$ de secció i la resiliència del material valia $58$ J/cm2. El martell del pèndol se deixava anar des d’una alçada de $150$ cm i després de trencar la proveta pujava $32$ cm.
L’esforç $\sigma$ és la relació entre la força aplicada i l’àrea de la secció transversal:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
Convertim l’àrea a metres quadrats per ser compatibles amb les unitats de Newton:
$$A = 255 \, \text{mm}^2 = 255 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 = 2,55 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$
Ara calculem l’esforç:
$$\sigma = \frac{65.000 \, \text{N}}{2,55 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} = 254.902.000 \, \text{Pa} = 254,9 \, \text{MPa}$$
La deformació unitària es calcula a partir de la llei de Hooke, que estableix que $\sigma = E \cdot \varepsilon$. D’aquí es pot aïllar $\varepsilon$:
$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$
Substituïm els valors en la fórmula:
$$\varepsilon = \frac{254,9 \, \text{MPa}}{107.000 \, \text{MPa}} = 0,00238$$
La duresa Brinell (HB) és el quocient entre la càrrega aplicada i l’àrea de la petjada. La fórmula per a la duresa Brinell és:
$$HB = \frac{F}{A}$$
On:
La duresa $HB$ està expressada en kp/mm², però necessitem convertir-la a unitats consistents en N/mm² (MPa). Sabem que 1 kp = 9,81 N, per tant:
$$HB = 135 \, \text{kp/mm}^2 \times 9,81 \, \text{N/kp} = 1.324,35 \, \text{N/mm}^2$$
Utilitzant la fórmula de la duresa Brinell:
$$A = \frac{F}{HB}$$
Substituïm els valors:
$$A = \frac{60.000 \, \text{N}}{1.324,35 \, \text{N/mm}^2} = 45,31 \, \text{mm}^2$$
La resiliència és l’energia absorbida per unitat d’àrea, de manera que podem calcular l’energia total absorbida per la proveta $E_{abs}$:
$$E_{abs} = R \cdot A$$
Convertim la resiliència a J/cm² i la secció a cm²:
$$E_{abs} = 58 \, \text{J/cm}^2 \times 4 \, \text{cm}^2 = 232 \, \text{J}$$
La diferència en l’alçada del pèndol abans i després de l’impacte ens dóna l’energia absorbida per la proveta:
$$E_{abs} = m \cdot g \cdot (h_1 – h_2)$$
Aïllem la massa $m$:
$$m = \frac{E_{abs}}{g \cdot (h_1 – h_2)}$$
Substituïm els valors:
$$m = \frac{232 \, \text{J}}{9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot (1,5 \, \text{m} – 0,32 \, \text{m})}$$
$$m = \frac{232 \, \text{J}}{9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 1,18 \, \text{m}} = \frac{232}{11,5758} = 20,04 \, \text{kg}$$