Problema sobre assajos

Problema sobre assajos
4 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

a) Calculeu l’esforç $\sigma$ en MPa i la deformació unitària $\varepsilon$ d’una barra de titani de $255$ mm$^2$ de secció, que suporta una càrrega axial de $65$ kN, sabent que el mòdul d’elasticitat val $107$ GPa. b) Calculeu l’àrea de l’empremta que deixa la bola d’acer emprada en un assaig de Brinell, en mm$^2$, sabent que la duresa del material és de $135$ kp/mm$^2$ i que se sotmet a una força de $60$ kN durant $20$ segons; la profunditat de la petjada (casquet esfèric) és $f=0.6$ mm. Expresseu la duresa segons la norma. Considereu $g=9.81$ m/s$^2$. c) Calculeu la massa d’un pèndol de Charpy utilitzat en un assaig de resiliència. Tenint en compte que s’utilitzaven provetes de $400$ mm$^2$ de secció i la resiliència del material valia $58$ J/cm2. El martell del pèndol se deixava anar des d’una alçada de $150$ cm i després de trencar la proveta pujava $32$ cm.

a) Càlcul de l’esforç $\sigma$ i la deformació unitària $\varepsilon$ en una barra de titani

Dades:

  • Àrea de la secció transversal de la barra $A = 255$ mm²
  • Càrrega axial aplicada $F = 65 kN = 65.000$ N
  • Mòdul d’elasticitat $E = 107 GPa = 107.000$ MPa

1. Càlcul de l’esforç $\sigma$:

L’esforç $\sigma$ és la relació entre la força aplicada i l’àrea de la secció transversal:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Convertim l’àrea a metres quadrats per ser compatibles amb les unitats de Newton:

$$A = 255 \, \text{mm}^2 = 255 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 = 2,55 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$

Ara calculem l’esforç:

$$\sigma = \frac{65.000 \, \text{N}}{2,55 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} = 254.902.000 \, \text{Pa} = 254,9 \, \text{MPa}$$

2. Càlcul de la deformació unitària $\varepsilon$:

La deformació unitària es calcula a partir de la llei de Hooke, que estableix que $\sigma = E \cdot \varepsilon$. D’aquí es pot aïllar $\varepsilon$:

$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

Substituïm els valors en la fórmula:

$$\varepsilon = \frac{254,9 \, \text{MPa}}{107.000 \, \text{MPa}} = 0,00238$$

Resultat de l’apartat a:

  • Esforç $\sigma = $$254,9$ MPa
  • Deformació unitaria $\varepsilon = $$0,00238$ (sense unitats)

b) Càlcul de l’àrea de la petjada i duresa Brinell

Dades:

  • Duresa Brinell $HB$ = 135$ kp/mm²
  • Força aplicada $F$ = 60 kN = 60.000 N
  • Profunditat de la petjada $f$ = 0,6 mm
  • Acceleració de la gravetat $g$ = 9,81 m/s²

1. Conversió de la duresa Brinell:

La duresa Brinell (HB) és el quocient entre la càrrega aplicada i l’àrea de la petjada. La fórmula per a la duresa Brinell és:

$$HB = \frac{F}{A}$$

On:

  • $F$ és la força aplicada.
  • $A$ és l’àrea de la petjada.

La duresa $HB$ està expressada en kp/mm², però necessitem convertir-la a unitats consistents en N/mm² (MPa). Sabem que 1 kp = 9,81 N, per tant:

$$HB = 135 \, \text{kp/mm}^2 \times 9,81 \, \text{N/kp} = 1.324,35 \, \text{N/mm}^2$$

2. Càlcul de l’àrea de la petjada $A$:

Utilitzant la fórmula de la duresa Brinell:

$$A = \frac{F}{HB}$$

Substituïm els valors:

$$A = \frac{60.000 \, \text{N}}{1.324,35 \, \text{N/mm}^2} = 45,31 \, \text{mm}^2$$

Resultat de l’apartat b:

  • Àrea de la petjada: $45,31 \, \text{mm}^2$
  • La duresa Brinell ja estava proporcionada com a $135 \, \text{kp/mm}^2$.

c) Càlcul de la massa del pèndol de Charpy en un assaig de resiliència

Dades:

  • Secció de la proveta $A$ = 400 mm² = 4 cm²
  • Resiliència del material $R$ = 58 J/cm²
  • Alçada inicial del pèndol $h_1$ = 150 cm = 1,5 m
  • Alçada després de l’impacte $h_2$ = 32 cm = 0,32 m
  • Acceleració de la gravetat $g$ = 9,81 m/s²

1. Energia absorbida per la proveta:

La resiliència és l’energia absorbida per unitat d’àrea, de manera que podem calcular l’energia total absorbida per la proveta $E_{abs}$:

$$E_{abs} = R \cdot A$$

Convertim la resiliència a J/cm² i la secció a cm²:

$$E_{abs} = 58 \, \text{J/cm}^2 \times 4 \, \text{cm}^2 = 232 \, \text{J}$$

2. Diferència d’energia potencial del pèndol:

La diferència en l’alçada del pèndol abans i després de l’impacte ens dóna l’energia absorbida per la proveta:

$$E_{abs} = m \cdot g \cdot (h_1 – h_2)$$

Aïllem la massa $m$:

$$m = \frac{E_{abs}}{g \cdot (h_1 – h_2)}$$

Substituïm els valors:

$$m = \frac{232 \, \text{J}}{9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot (1,5 \, \text{m} – 0,32 \, \text{m})}$$
$$m = \frac{232 \, \text{J}}{9,81 \, \text{m/s}^2 \cdot 1,18 \, \text{m}} = \frac{232}{11,5758} = 20,04 \, \text{kg}$$

Resultat de l’apartat c:

  • Massa del pèndol de Charpy: $20,04 \, \text{kg}$
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *