Problema sobre assajos. Mòdul d’elasticitat, assaig Vickers, pèndol Charpy

Problema sobre assajos. Mòdul d’elasticitat, assaig Vickers, pèndol Charpy
4 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

a) Calculeu el mòdul d’elasticitat $E$ d’una proveta d’assaig en GPa, sabent que el seu diàmetre és de $20$ mm i la longitud inicial és $L_O=350$ cm, aconseguint una longitud $L=350.6$ cm, quan se’l sotmet a una càrrega de $F=90$ kN. b) Quina càrrega, expressada en kN, se li va aplicar al punxó de diamant d’un assaig Vickers, si després de $15$ s va deixar una empremta de diagonal $D=0.6$ mm; la duresa és de $247$ kp/mm$^2$. Expresseu la duresa segons la norma. c) Calculeu l’alçada en cm que ascendeix la maça d’un pèndol de Charpy de $30000$ g, després de trencar una proveta de $3$ cm$^2$ de secció, si es deixa anar des de $1.2$ m d’alçada, sabent que la seva resiliència és $\rho=0.6$ J/ mm$^2$.

a) Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$ d’una proveta

Dades:

  • Diàmetre de la proveta $d$ = 20 mm = 0,02 m
  • Longitud inicial $L_0$ = 350 cm = 3,5 m
  • Longitud final $L$ = 350,6 cm = 3,506 m
  • Càrrega aplicada $F$ = 90 kN = 90.000 N

1. Càlcul de l’àrea de la secció transversal $A$:

L’àrea de la secció transversal d’una proveta circular es calcula amb la fórmula:

$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$

Substituïm el valor del diàmetre:

$$A = \frac{\pi (0,02)^2}{4} = 3,1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$

2. Càlcul de la deformació unitaria $\varepsilon$:

La deformació unitaria es calcula com el canvi de longitud dividit per la longitud inicial:

$$\varepsilon = \frac{L – L_0}{L_0} = \frac{3,506 \, \text{m} – 3,5 \, \text{m}}{3,5 \, \text{m}} = \frac{0,006}{3,5} = 0,001714$$

3. Càlcul de l’esforç $\sigma$:

L’esforç es calcula com la força dividida per l’àrea de la secció transversal:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{90.000 \, \text{N}}{3,1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} = 286.478.897 \, \text{Pa} = 286,48 \, \text{MPa}$$

4. Càlcul del mòdul d’elasticitat $E$:

El mòdul d’elasticitat es calcula com la relació entre l’esforç i la deformació unitaria:

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{286,48 \, \text{MPa}}{0,001714} = 167,2 \, \text{GPa}$$

Resultat de l’apartat a:

  • Mòdul d’elasticitat $E$ = 167,2 GPa

b) Càlcul de la càrrega en un assaig de Vickers

Dades:

  • Diagonal de la petjada $D$ = 0,6 mm
  • Duresa Vickers $HV$ = 247 kp/mm²
  • Temps d’aplicació de la càrrega $= 15$ segons

1. Conversió de la duresa Vickers a unitats consistents:

La duresa Vickers $HV$ es defineix com la relació entre la força aplicada i l’àrea de la petjada. Sabem que $HV$ es dóna en kp/mm², però volem la força en Newtons. Convertim la duresa a N/mm² utilitzant la relació $1 \, \text{kp} = 9,81 \, \text{N}$:

$$HV = 247 \, \text{kp/mm}^2 \times 9,81 \, \text{N/kp} = 2.422,07 \, \text{N/mm}^2$$

2. Càlcul de l’àrea de la petjada $A$:

L’àrea de la petjada d’un assaig Vickers per a una diagonal $D$ es calcula amb la fórmula aproximada:

$$A = \frac{D^2}{2}$$

Substituïm el valor de $D$:

$$A = \frac{(0,6)^2}{2} = \frac{0,36}{2} = 0,18 \, \text{mm}^2$$

3. Càlcul de la força aplicada $F$:

Utilitzem la fórmula de la duresa Vickers per calcular la força aplicada:

$$HV = \frac{F}{A}$$

D’aquí, aïllem la força:

$$F = HV \times A = 2.422,07 \, \text{N/mm}^2 \times 0,18 \, \text{mm}^2 = 435,97 \, \text{N}$$

Convertim aquesta força a kN:

$$F = 435,97 \, \text{N} = 0,436 \, \text{kN}$$

Resultat de l’apartat b:

  • Càrrega aplicada $F$ = 0,436 kN

c) Càlcul de l’alçada a què puja la maça d’un pèndol de Charpy

Dades:

  • Massa de la maça $m$ = 30.000 g = 30 kg
  • Secció de la proveta $A$ = 3 cm² = 300 mm²
  • Alçada inicial del pèndol $h_1$ = 1,2 m
  • Resiliència del material $\rho$ = 0,6 J/mm²
  • Acceleració de la gravetat $g$ = 9,81 m/s²

1. Càlcul de l’energia absorbida per la proveta:

La resiliència és l’energia absorbida per unitat d’àrea. Per tant, l’energia total absorbida per la proveta $E_{abs}$ és:

$$E_{abs} = \rho \cdot A$$

Convertim la resiliència i la secció a unitats compatibles:

$$E_{abs} = 0,6 \, \text{J/mm}^2 \times 300 \, \text{mm}^2 = 180 \, \text{J}$$

2. Càlcul de l’energia potencial inicial del pèndol:

L’energia potencial inicial $E_p$ del pèndol abans de l’impacte es calcula com:

$$E_p = m \cdot g \cdot h_1 = 30 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 1,2 \, \text{m} = 353,16 \, \text{J}$$

3. Càlcul de l’energia restant després de l’impacte:

L’energia restant del pèndol després de trencar la proveta és la diferència entre l’energia potencial inicial i l’energia absorbida:

$$E_{restant} = E_p – E_{abs} = 353,16 \, \text{J} – 180 \, \text{J} = 173,16 \, \text{J}$$

4. Càlcul de l’alçada final $h_2$:

Sabem que l’energia potencial després de l’impacte és:

$$E_{restant} = m \cdot g \cdot h_2$$

Aïllem $h_2$:

$$h_2 = \frac{E_{restant}}{m \cdot g} = \frac{173,16 \, \text{J}}{30 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2} = \frac{173,16}{294,3} = 0,588 \, \text{m} = 58,8 \, \text{cm}$$

Resultat de l’apartat c:

  • Alçada a què puja la maça $h_2$ $=$ $58,8$ cm
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *