LEMNISCATA
Matemàtiques
a) Calculeu el mòdul d’elasticitat $E$ d’una proveta d’assaig en GPa, sabent que el seu diàmetre és de $20$ mm i la longitud inicial és $L_O=350$ cm, aconseguint una longitud $L=350.6$ cm, quan se’l sotmet a una càrrega de $F=90$ kN. b) Quina càrrega, expressada en kN, se li va aplicar al punxó de diamant d’un assaig Vickers, si després de $15$ s va deixar una empremta de diagonal $D=0.6$ mm; la duresa és de $247$ kp/mm$^2$. Expresseu la duresa segons la norma. c) Calculeu l’alçada en cm que ascendeix la maça d’un pèndol de Charpy de $30000$ g, després de trencar una proveta de $3$ cm$^2$ de secció, si es deixa anar des de $1.2$ m d’alçada, sabent que la seva resiliència és $\rho=0.6$ J/ mm$^2$.
L’àrea de la secció transversal d’una proveta circular es calcula amb la fórmula:
$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$
Substituïm el valor del diàmetre:
$$A = \frac{\pi (0,02)^2}{4} = 3,1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$
La deformació unitaria es calcula com el canvi de longitud dividit per la longitud inicial:
$$\varepsilon = \frac{L – L_0}{L_0} = \frac{3,506 \, \text{m} – 3,5 \, \text{m}}{3,5 \, \text{m}} = \frac{0,006}{3,5} = 0,001714$$
L’esforç es calcula com la força dividida per l’àrea de la secció transversal:
$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{90.000 \, \text{N}}{3,1416 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} = 286.478.897 \, \text{Pa} = 286,48 \, \text{MPa}$$
El mòdul d’elasticitat es calcula com la relació entre l’esforç i la deformació unitaria:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{286,48 \, \text{MPa}}{0,001714} = 167,2 \, \text{GPa}$$
La duresa Vickers $HV$ es defineix com la relació entre la força aplicada i l’àrea de la petjada. Sabem que $HV$ es dóna en kp/mm², però volem la força en Newtons. Convertim la duresa a N/mm² utilitzant la relació $1 \, \text{kp} = 9,81 \, \text{N}$:
$$HV = 247 \, \text{kp/mm}^2 \times 9,81 \, \text{N/kp} = 2.422,07 \, \text{N/mm}^2$$
L’àrea de la petjada d’un assaig Vickers per a una diagonal $D$ es calcula amb la fórmula aproximada:
$$A = \frac{D^2}{2}$$
Substituïm el valor de $D$:
$$A = \frac{(0,6)^2}{2} = \frac{0,36}{2} = 0,18 \, \text{mm}^2$$
Utilitzem la fórmula de la duresa Vickers per calcular la força aplicada:
$$HV = \frac{F}{A}$$
D’aquí, aïllem la força:
$$F = HV \times A = 2.422,07 \, \text{N/mm}^2 \times 0,18 \, \text{mm}^2 = 435,97 \, \text{N}$$
Convertim aquesta força a kN:
$$F = 435,97 \, \text{N} = 0,436 \, \text{kN}$$
La resiliència és l’energia absorbida per unitat d’àrea. Per tant, l’energia total absorbida per la proveta $E_{abs}$ és:
$$E_{abs} = \rho \cdot A$$
Convertim la resiliència i la secció a unitats compatibles:
$$E_{abs} = 0,6 \, \text{J/mm}^2 \times 300 \, \text{mm}^2 = 180 \, \text{J}$$
L’energia potencial inicial $E_p$ del pèndol abans de l’impacte es calcula com:
$$E_p = m \cdot g \cdot h_1 = 30 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 1,2 \, \text{m} = 353,16 \, \text{J}$$
L’energia restant del pèndol després de trencar la proveta és la diferència entre l’energia potencial inicial i l’energia absorbida:
$$E_{restant} = E_p – E_{abs} = 353,16 \, \text{J} – 180 \, \text{J} = 173,16 \, \text{J}$$
Sabem que l’energia potencial després de l’impacte és:
$$E_{restant} = m \cdot g \cdot h_2$$
Aïllem $h_2$:
$$h_2 = \frac{E_{restant}}{m \cdot g} = \frac{173,16 \, \text{J}}{30 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2} = \frac{173,16}{294,3} = 0,588 \, \text{m} = 58,8 \, \text{cm}$$