Mòdul de Young en una vareta d’acer.

Una vareta s’ha fabricat amb acer de límit elàstic $350$ MPa i de mòdul d´elasticitat $200$ GPa. La vareta té una secció uniforme de $12$ mm$^2$ i una longitud de $50$ cm. a) Si es carrega en un dels seus extrems amb una força de $1800$ N a la direcció de l’eix de la barra, recuperarà la vareta la longitud inicial quan s’elimini la força? b) Calculeu l’allargament unitari en les condicions de càrrega plantejades. a). c) Quin haurà de ser el diàmetre mínim de la vareta si no es vol que es allargueu permanentment després de ser sotmesa a una càrrega de $5000$ N?

Dades:

• Límite elástico: $\sigma_e = 350 \, \text{MPa} = 350 \times 10^6 \, \text{Pa}$
• Mòdul d’elasticitat: $E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$
• Àrea de la secció transversal: $A = 12 \, \text{mm}^2 = 12 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$
• Longitud: $L = 50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}$
• Força aplicada (part a): $F = 1800 \, \text{N}$
• Força aplicada (part c): $F = 5000 \, \text{N}$

a) Recuperació de la longitud inicial sota una força de $1800$ N

Per comprovar si la varilla recuperarà la seva longitud, hem de calcular la tensió i comparar-la amb el límit elàstic.

La tensió és:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
On $F = 1800 \, \text{N}$ i $A = 12 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$.

Substituïm els valors:
$$\sigma = \frac{1800}{12 \times 10^{-6}} = 150 \times 10^6 \, \text{Pa} = 150 \, \text{MPa}$$

Com que la tensió $150 \, \text{MPa}$ és menor que el límit elàstic $350 \, \text{MPa}$, la varilla recuperarà la seva longitud original.

b) Alargament unitari sota la força de $1800$ N

L’alargament unitari ((\varepsilon)) es calcula com:
$$\varepsilon = \frac{\sigma}{E}$$

Sabem que $\sigma = 150 \, \text{MPa} = 150 \times 10^6 \, \text{Pa}) i (E = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$. Substituïm:

$$\varepsilon = \frac{150 \times 10^6}{200 \times 10^9} = 0.00075$$

L’alargament unitari sota la càrrega de $1800$ N és $0.00075$.

c) Diàmetre mínim sota una força de $5000$ N

Per evitar una deformació permanent, la tensió generada per la força de $5000$ N ha de ser inferior o igual al límit elàstic $\sigma_e = 350 \, \text{MPa}$.

La tensió és:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
Reorganitzem per trobar l’àrea mínima necessària:
$$A = \frac{F}{\sigma_e}$$

Substituïm $F = 5000 \, \text{N}$ i $\sigma_e = 350 \times 10^6 \, \text{Pa}$:

$$A = \frac{5000}{350 \times 10^6} = 14.29 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$$

L’àrea d’una secció circular és $A = \frac{\pi d^2}{4}$. Despejant el diàmetre $d$:

$$d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 14.29 \times 10^{-6}}{\pi}} = 0.00426 \, \text{m} = 4.26 \, \text{mm}$$

El diàmetre mínim de la varilla per evitar deformacions permanents sota la força de 5000 N és $4.26$ mm.

Resum:

• a) La varilla recuperarà la seva longitud original sota la força de $1800$ N.
• b) L’alargament unitari és $0.00075$.
• c) El diàmetre mínim per evitar deformacions permanents amb $5000$ N és $4.26$ mm.