Barra cilíndrica. Mòdul de Young i allargament

Una barra cilíndrica d’acer, amb un límit elàstic de $5.000$ kg/cm$^2$, és sotmesa a una força de tracció de $8.500$ kg. Sabent que la longitud de la barra és de $400$ mm i el mòdul d’elasticitat de $2,1\cdot10^{6}$ kg/cm$^2$, calculeu el diàmetre de la barra perquè el seu allargament total no superi les $50$ centèsimes de mil·límetre.

Per resoldre el problema, utilitzarem la llei de Hooke per materials elàstics i la relació entre la tensió i la deformació en una barra sotmesa a tracció.

Dades proporcionades:

• Límit elàstic del material: ( \sigma_{\text{límite}} = 5000 \, \text{kg/cm}^2 ).
• Força de tracció: ( F = 8500 \, \text{kgf} ).
• Longitud de la barra: ( L_0 = 400 \, \text{mm} = 40 \, \text{cm} ).
• Mòdul d’elasticitat (mòdul de Young): ( E = 2,1 \times 10^6 \, \text{kg/cm}^2 ).
• Allargament màxim permès: ( \Delta L_{\text{màx}} = 0,50 \, \text{mm} = 0,05 \, \text{cm} ).

Cal calcular el diàmetre de la barra perquè l’allargament no superi 0,50 mm.

Pas 1: Relació entre la força, àrea i allargament

La fórmula per calcular l’allargament en una barra sotmesa a una força de tracció és:

[
\Delta L = \frac{F L_0}{A E}
]

On:

• ( \Delta L ) és l’allargament,
• ( F ) és la força de tracció,
• ( L_0 ) és la longitud inicial de la barra,
• ( A ) és l’àrea de la secció transversal de la barra,
• ( E ) és el mòdul de Young.

Despejant ( A ) d’aquesta fórmula:

[
A = \frac{F L_0}{E \Delta L}
]

Substituint els valors:

[
A = \frac{8500 \times 40}{2,1 \times 10^6 \times 0,05}
]
[
A = \frac{340000}{105000} \approx 3,238 \, \text{cm}^2
]

Pas 2: Càlcul del diàmetre de la barra

L’àrea de la secció transversal d’una barra cilíndrica està relacionada amb el diàmetre (d) mitjançant la fórmula:

[
A = \frac{\pi d^2}{4}
]

Despejant (d):

[
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}
]

Substituint (A = 3,238 \, \text{cm}^2):

[
d = \sqrt{\frac{4 \times 3,238}{\pi}} = \sqrt{\frac{12,952}{3,1416}} = \sqrt{4,124} \approx 2,03 \, \text{cm}
]

Resultat Final:

El diàmetre de la barra ha de ser aproximadament de 2,03 cm perquè l’allargament total no superi els 0,50 mm sota la força de tracció de 8500 kgf.