Problema sobre assajos de materials

En un assaig de tracció realitzat sobre una proveta metàl·lica de secció circular amb un diàmetre inicial de $10$ mm i una longitud gàlib (o longitud calibrada) de $50$ mm, es van obtenir els següents resultats experimentals:

1. La proveta es va sotmetre a una força màxima de $40$ kN abans de trencar-se.
2. La longitud de la proveta després de la fractura era de $64$ mm.
3. El diàmetre de la secció en el punt més estret de la proveta després de la fractura era de $7$ mm.
4. El mòdul de Young del material és $E = 200 \, \text{GPa}$.

Es demana:

a) Esforç màxim (o resistència màxima a la tracció): Calcula l’esforç màxim que va suportar la proveta abans de trencar-se.

b) Deformació unitaria màxima: Calcula la deformació unitaria màxima (elongació percentual) de la proveta.

c) Reducció de la secció transversal: Calcula la reducció percentual de la secció transversal de la proveta després de la fractura.

d) Càlcul de la resistència a l’esforç: Suposant un comportament elàstic, calcula l’esforç a què es va sotmetre la proveta quan la seva longitud es va allargar un 0.2% respecte a la longitud inicial.

---

Informació addicional:

• L’esforç $\sigma$ es calcula com la força aplicada dividida per l’àrea de la secció transversal inicial de la proveta: $\sigma = \frac{F}{A_0}$, on $A_0 = \frac{\pi}{4} d_0^2$.
• La deformació unitaria $\varepsilon$ es defineix com el canvi en la longitud dividit per la longitud inicial: $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$.
• La reducció percentual de la secció es calcula com $\frac{A_0 – A_f}{A_0} \times 100$, on $A_f$ és l’àrea de la secció després de la fractura.

---

Dades proporcionades:

• Diàmetre inicial de la proveta: $d_0 = 10 \, \text{mm}$
• Longitud inicial (gàlib): $L_0 = 50 \, \text{mm}$
• Força màxima abans de trencar-se: $F = 40 \, \text{kN} = 40,000 \, \text{N}$
• Longitud després de la fractura: $L_f = 64 \, \text{mm}$
• Diàmetre després de la fractura: $d_f = 7 \, \text{mm}$
• Mòdul de Young del material: $E = 200 \, \text{GPa} = 200,000 \, \text{MPa}$

Part a) Esforç màxim (o resistència màxima a la tracció)

L’esforç màxim es calcula com la força màxima aplicada dividida per l’àrea de la secció inicial de la proveta. L’àrea de la secció transversal circular és:

$$A_0 = \frac{\pi}{4} d_0^2$$

On $d_0$ és el diàmetre inicial de la proveta.

$$A_0 = \frac{\pi}{4} (10 \, \text{mm})^2 = 78.54 \, \text{mm}^2$$

Ara, calculem l’esforç màxim:

$$\sigma_{\text{màxim}} = \frac{F}{A_0} = \frac{40,000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} = 509.3 \, \text{MPa}$$

Per tant, l’esforç màxim és de $509.3$ MPa.

Part b) Deformació unitaria màxima (elongació percentual)

La deformació unitaria màxima és el canvi en la longitud dividit per la longitud inicial:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L_f – L_0}{L_0}$$

On $L_f$ és la longitud final i $L_0$ és la longitud inicial.

$$\varepsilon = \frac{64 \, \text{mm} – 50 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} = \frac{14}{50} = 0.28$$

Multiplicant per $100$ per obtenir el percentatge:

$$\varepsilon = 0.28 \times 100 = 28\%$$

Per tant, la deformació unitaria màxima és del $28\%$.

Part c) Reducció de la secció transversal

La reducció percentual de la secció es calcula com:

$$\text{Reducció percentual} = \frac{A_0 – A_f}{A_0} \times 100$$

On $A_f$ és l’àrea de la secció després de la fractura, que es calcula amb el diàmetre final $d_f = 7 \, \text{mm}$:

$$A_f = \frac{\pi}{4} d_f^2 = \frac{\pi}{4} (7 \, \text{mm})^2 = 38.48 \, \text{mm}^2$$

Ara calculem la reducció percentual:

$$\text{Reducció percentual} = \frac{78.54 \, \text{mm}^2 – 38.48 \, \text{mm}^2}{78.54 \, \text{mm}^2} \times 100 = \frac{40.06}{78.54} \times 100 = 51.01\%$$

Per tant, la reducció percentual de la secció és del $51.01\%$.

Part d) Càlcul de l’esforç per a una deformació del $0.2\%$

Si la deformació unitaria és del $0.2\%$, podem calcular l’esforç utilitzant la llei de Hooke per a comportaments elàstics:

$$\sigma = E \cdot \varepsilos$

On $\varepsilon = 0.002$ ($0.2\%$ en decimal) i $E = 200,000 \, \text{MPa}$.

$$\sigma = 200,000 \, \text{MPa} \times 0.002 = 400 \, \text{MPa}$$

Per tant, l’esforç associat a una deformació del $0.2\%$ és de $400$ MPa.

---

Resum de resultats:
a) L’esforç màxim és de $509.3$ MPa.
b) La deformació unitaria màxima és del $28\%$.
c) La reducció de la secció és del $51.01\%$.
d) L’esforç associat a una deformació del $0.2\%$ és de $400$ MPa.