Problema sobre assajos de materials

Problema sobre assajos de materials
11 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

En un assaig de tracció realitzat sobre una proveta metàl·lica de secció circular amb un diàmetre inicial de $10$ mm i una longitud gàlib (o longitud calibrada) de $50$ mm, es van obtenir els següents resultats experimentals:

  1. La proveta es va sotmetre a una força màxima de $40$ kN abans de trencar-se.
  2. La longitud de la proveta després de la fractura era de $64$ mm.
  3. El diàmetre de la secció en el punt més estret de la proveta després de la fractura era de $7$ mm.
  4. El mòdul de Young del material és $E = 200 \, \text{GPa}$.

Es demana:

a) Esforç màxim (o resistència màxima a la tracció): Calcula l’esforç màxim que va suportar la proveta abans de trencar-se.

b) Deformació unitaria màxima: Calcula la deformació unitaria màxima (elongació percentual) de la proveta.

c) Reducció de la secció transversal: Calcula la reducció percentual de la secció transversal de la proveta després de la fractura.

d) Càlcul de la resistència a l’esforç: Suposant un comportament elàstic, calcula l’esforç a què es va sotmetre la proveta quan la seva longitud es va allargar un 0.2% respecte a la longitud inicial.


Informació addicional:

  • L’esforç $\sigma$ es calcula com la força aplicada dividida per l’àrea de la secció transversal inicial de la proveta: $\sigma = \frac{F}{A_0}$, on $A_0 = \frac{\pi}{4} d_0^2$.
  • La deformació unitaria $\varepsilon$ es defineix com el canvi en la longitud dividit per la longitud inicial: $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$.
  • La reducció percentual de la secció es calcula com $\frac{A_0 – A_f}{A_0} \times 100$, on $A_f$ és l’àrea de la secció després de la fractura.

Dades proporcionades:

  • Diàmetre inicial de la proveta: $d_0 = 10 \, \text{mm}$
  • Longitud inicial (gàlib): $L_0 = 50 \, \text{mm}$
  • Força màxima abans de trencar-se: $F = 40 \, \text{kN} = 40,000 \, \text{N}$
  • Longitud després de la fractura: $L_f = 64 \, \text{mm}$
  • Diàmetre després de la fractura: $d_f = 7 \, \text{mm}$
  • Mòdul de Young del material: $E = 200 \, \text{GPa} = 200,000 \, \text{MPa}$

Part a) Esforç màxim (o resistència màxima a la tracció)

L’esforç màxim es calcula com la força màxima aplicada dividida per l’àrea de la secció inicial de la proveta. L’àrea de la secció transversal circular és:

$$A_0 = \frac{\pi}{4} d_0^2$$

On $d_0$ és el diàmetre inicial de la proveta.

$$A_0 = \frac{\pi}{4} (10 \, \text{mm})^2 = 78.54 \, \text{mm}^2$$

Ara, calculem l’esforç màxim:

$$\sigma_{\text{màxim}} = \frac{F}{A_0} = \frac{40,000 \, \text{N}}{78.54 \, \text{mm}^2} = 509.3 \, \text{MPa}$$

Per tant, l’esforç màxim és de $509.3$ MPa.

Part b) Deformació unitaria màxima (elongació percentual)

La deformació unitaria màxima és el canvi en la longitud dividit per la longitud inicial:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L_f – L_0}{L_0}$$

On $L_f$ és la longitud final i $L_0$ és la longitud inicial.

$$\varepsilon = \frac{64 \, \text{mm} – 50 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} = \frac{14}{50} = 0.28$$

Multiplicant per $100$ per obtenir el percentatge:

$$\varepsilon = 0.28 \times 100 = 28\%$$

Per tant, la deformació unitaria màxima és del $28\%$.

Part c) Reducció de la secció transversal

La reducció percentual de la secció es calcula com:

$$\text{Reducció percentual} = \frac{A_0 – A_f}{A_0} \times 100$$

On $A_f$ és l’àrea de la secció després de la fractura, que es calcula amb el diàmetre final $d_f = 7 \, \text{mm}$:

$$A_f = \frac{\pi}{4} d_f^2 = \frac{\pi}{4} (7 \, \text{mm})^2 = 38.48 \, \text{mm}^2$$

Ara calculem la reducció percentual:

$$\text{Reducció percentual} = \frac{78.54 \, \text{mm}^2 – 38.48 \, \text{mm}^2}{78.54 \, \text{mm}^2} \times 100 = \frac{40.06}{78.54} \times 100 = 51.01\%$$

Per tant, la reducció percentual de la secció és del $51.01\%$.

Part d) Càlcul de l’esforç per a una deformació del $0.2\%$

Si la deformació unitaria és del $0.2\%$, podem calcular l’esforç utilitzant la llei de Hooke per a comportaments elàstics:

$$\sigma = E \cdot \varepsilos$

On $\varepsilon = 0.002$ ($0.2\%$ en decimal) i $E = 200,000 \, \text{MPa}$.

$$\sigma = 200,000 \, \text{MPa} \times 0.002 = 400 \, \text{MPa}$$

Per tant, l’esforç associat a una deformació del $0.2\%$ és de $400$ MPa.


Resum de resultats:
a) L’esforç màxim és de $509.3$ MPa.
b) La deformació unitaria màxima és del $28\%$.
c) La reducció de la secció és del $51.01\%$.
d) L’esforç associat a una deformació del $0.2\%$ és de $400$ MPa.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *