Mòdul elasticitat d’aliatge de coure

Mòdul elasticitat d’aliatge de coure
11 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Tecnologia Industrial Oscar Alex Fernandez Mora

Un aliatge de coure té un mòdul d’elasticitat de $120$ GPa, un límit elàstic de $260$ MPa i una resistència a tracció de $430$ MPa. Es demana calcular: a) La tensió que es produeix en una barra de $400$ mm de longitud i un allargament de $0,36$ mm, a la zona proporcional elàstica. b) El diàmetre, en mil·límetres, que ha de tenir una barra d’aquest material perquè, sotmesa a una càrrega de tracció de $80$ kN, no experimenti deformacions permanents. c) La mateixa qüestió si s’adopta un coeficient de seguretat de $6$.

Dades principals:

  • Mòdul d’elasticitat $E = 120 GPa = 120 \times 10^3 \ \text{MPa}$
  • Límit elàstic = $260$ MPa
  • Resistència a tracció = $430$ MPa
  • Longitud inicial $L = 400$ mm
  • Allargament $\Delta L = 0,36$ mm

a) Tensió en la zona proporcional elàstica

La tensió en la zona proporcional es pot calcular amb la Llei de Hooke, que s’expressa com:

$$\sigma = E \cdot \epsilon$$

On:

  • $\sigma$ és la tensió (MPa).
  • $E$ és el mòdul d’elasticitat (MPa).
  • $\epsilon$ és la deformació unitaria, que és l’allargament dividit per la longitud original:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.36 \, \text{mm}}{400 \, \text{mm}} = 0.0009$$

Ara substituïm en la fórmula de la tensió:

$$\sigma = (120 \times 10^3 \, \text{MPa}) \cdot 0.0009 = 108 \, \text{MPa}$$

Resultat a: La tensió és de $108$ MPa.

b) Diàmetre de la barra per evitar deformació permanent

Per tal que no hi hagi deformació permanent, la tensió a la barra ha de ser igual o inferior al límit elàstic del material ($260$ MPa).

La tensió es defineix com la força dividida per l’àrea:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Sabem que la força és de $80$ kN i l’àrea de la barra és $A = \frac{\pi d^2}{4}$, on $d$ és el diàmetre. Així:

$$\sigma = \frac{80 \, \text{kN}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Per mantenir la tensió per sota del límit elàstic:

$$260 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3 \, \text{N}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Despegem $d^2$:

$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{260 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{204.2} \approx 391.83$$

$$d \approx \sqrt{391.83} \approx 19.8 \, \text{mm}$$

Resultat b: El diàmetre ha de ser aproximadament de $19.8$ mm.

c) Diàmetre de la barra amb un coeficient de seguretat de 6

En introduir un coeficient de seguretat $n = 6$, la tensió admissible serà el límit elàstic dividit per aquest coeficient:

$$\sigma_{\text{adm}} = \frac{260 \, \text{MPa}}{6} \approx 43.33 \, \text{MPa}$$

De nou, apliquem la fórmula de la tensió:

$$43.33 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Despejem $d^2$:

$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{43.33 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{34.1} \approx 2346.63$$

$$d \approx \sqrt{2346.63} \approx 48.44 \, \text{mm}$$

Resultat c: El diàmetre ha de ser aproximadament de $48.44$ mm.


Resum de resultats:

  • a) Tensió a la barra: $108$ MPa.
  • b) Diàmetre de la barra sense deformació permanent: $19.8$ mm.
  • c) Diàmetre de la barra amb coeficient de seguretat de $6$: $48.44$ mm.
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *