Mòdul elasticitat d’aliatge de coure

Un aliatge de coure té un mòdul d’elasticitat de $120$ GPa, un límit elàstic de $260$ MPa i una resistència a tracció de $430$ MPa. Es demana calcular: a) La tensió que es produeix en una barra de $400$ mm de longitud i un allargament de $0,36$ mm, a la zona proporcional elàstica. b) El diàmetre, en mil·límetres, que ha de tenir una barra d’aquest material perquè, sotmesa a una càrrega de tracció de $80$ kN, no experimenti deformacions permanents. c) La mateixa qüestió si s’adopta un coeficient de seguretat de $6$.

Dades principals:

• Mòdul d’elasticitat $E = 120 GPa = 120 \times 10^3 \ \text{MPa}$
• Límit elàstic = $260$ MPa
• Resistència a tracció = $430$ MPa
• Longitud inicial $L = 400$ mm
• Allargament $\Delta L = 0,36$ mm

a) Tensió en la zona proporcional elàstica

La tensió en la zona proporcional es pot calcular amb la Llei de Hooke, que s’expressa com:

$$\sigma = E \cdot \epsilon$$

On:

• $\sigma$ és la tensió (MPa).
• $E$ és el mòdul d’elasticitat (MPa).
• $\epsilon$ és la deformació unitaria, que és l’allargament dividit per la longitud original:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.36 \, \text{mm}}{400 \, \text{mm}} = 0.0009$$

Ara substituïm en la fórmula de la tensió:

$$\sigma = (120 \times 10^3 \, \text{MPa}) \cdot 0.0009 = 108 \, \text{MPa}$$

Resultat a: La tensió és de $108$ MPa.

b) Diàmetre de la barra per evitar deformació permanent

Per tal que no hi hagi deformació permanent, la tensió a la barra ha de ser igual o inferior al límit elàstic del material ($260$ MPa).

La tensió es defineix com la força dividida per l’àrea:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Sabem que la força és de $80$ kN i l’àrea de la barra és $A = \frac{\pi d^2}{4}$, on $d$ és el diàmetre. Així:

$$\sigma = \frac{80 \, \text{kN}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Per mantenir la tensió per sota del límit elàstic:

$$260 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3 \, \text{N}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Despegem $d^2$:

$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{260 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{204.2} \approx 391.83$$

$$d \approx \sqrt{391.83} \approx 19.8 \, \text{mm}$$

Resultat b: El diàmetre ha de ser aproximadament de $19.8$ mm.

c) Diàmetre de la barra amb un coeficient de seguretat de 6

En introduir un coeficient de seguretat $n = 6$, la tensió admissible serà el límit elàstic dividit per aquest coeficient:

$$\sigma_{\text{adm}} = \frac{260 \, \text{MPa}}{6} \approx 43.33 \, \text{MPa}$$

De nou, apliquem la fórmula de la tensió:

$$43.33 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3}{\frac{\pi d^2}{4}}$$

Despejem $d^2$:

$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{43.33 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{34.1} \approx 2346.63$$

$$d \approx \sqrt{2346.63} \approx 48.44 \, \text{mm}$$

Resultat c: El diàmetre ha de ser aproximadament de $48.44$ mm.

---

Resum de resultats:

• a) Tensió a la barra: $108$ MPa.
• b) Diàmetre de la barra sense deformació permanent: $19.8$ mm.
• c) Diàmetre de la barra amb coeficient de seguretat de $6$: $48.44$ mm.