LEMNISCATA
Matemàtiques
Un aliatge de coure té un mòdul d’elasticitat de $120$ GPa, un límit elàstic de $260$ MPa i una resistència a tracció de $430$ MPa. Es demana calcular: a) La tensió que es produeix en una barra de $400$ mm de longitud i un allargament de $0,36$ mm, a la zona proporcional elàstica. b) El diàmetre, en mil·límetres, que ha de tenir una barra d’aquest material perquè, sotmesa a una càrrega de tracció de $80$ kN, no experimenti deformacions permanents. c) La mateixa qüestió si s’adopta un coeficient de seguretat de $6$.
La tensió en la zona proporcional es pot calcular amb la Llei de Hooke, que s’expressa com:
$$\sigma = E \cdot \epsilon$$
On:
$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.36 \, \text{mm}}{400 \, \text{mm}} = 0.0009$$
Ara substituïm en la fórmula de la tensió:
$$\sigma = (120 \times 10^3 \, \text{MPa}) \cdot 0.0009 = 108 \, \text{MPa}$$
Resultat a: La tensió és de $108$ MPa.
Per tal que no hi hagi deformació permanent, la tensió a la barra ha de ser igual o inferior al límit elàstic del material ($260$ MPa).
La tensió es defineix com la força dividida per l’àrea:
$$\sigma = \frac{F}{A}$$
Sabem que la força és de $80$ kN i l’àrea de la barra és $A = \frac{\pi d^2}{4}$, on $d$ és el diàmetre. Així:
$$\sigma = \frac{80 \, \text{kN}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$
Per mantenir la tensió per sota del límit elàstic:
$$260 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3 \, \text{N}}{\frac{\pi d^2}{4}}$$
Despegem $d^2$:
$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{260 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{204.2} \approx 391.83$$
$$d \approx \sqrt{391.83} \approx 19.8 \, \text{mm}$$
Resultat b: El diàmetre ha de ser aproximadament de $19.8$ mm.
En introduir un coeficient de seguretat $n = 6$, la tensió admissible serà el límit elàstic dividit per aquest coeficient:
$$\sigma_{\text{adm}} = \frac{260 \, \text{MPa}}{6} \approx 43.33 \, \text{MPa}$$
De nou, apliquem la fórmula de la tensió:
$$43.33 \, \text{MPa} = \frac{80 \times 10^3}{\frac{\pi d^2}{4}}$$
Despejem $d^2$:
$$d^2 = \frac{80 \times 10^3}{43.33 \times \frac{\pi}{4}} = \frac{80 \times 10^3}{34.1} \approx 2346.63$$
$$d \approx \sqrt{2346.63} \approx 48.44 \, \text{mm}$$
Resultat c: El diàmetre ha de ser aproximadament de $48.44$ mm.