Problema inferència estadística. Els joves i les xarxes socials

Volem conèixer el percentatge de joves que utilitzen xarxes socials diàriament en una ciutat determinada. Prenem una mostra aleatòria de $400$ joves, dels quals $280$ afirmen utilitzar-les cada dia. a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de joves que utilitzen xarxes socials diàriament en aquella ciutat. b) Construïu un interval de confiança del $95\%$ per al percentatge de joves que utilitzen xarxes socials diàriament. (Recordeu que si $Z$ segueix una distribució Normal(0,1), $P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) = 0.95$.)

Dades inicials

• Mostra: $n = 400$ joves
• Èxits: 280 joves utilitzen xarxes socials diàriament
• Nivell de confiança: $95\%$ ($Z_{\alpha/2} = 1.96%)

a) Estimació puntual

Proporció mostral:
$$\hat{p} = \frac{280}{400} = 0.7$$
Percentatge: $0.7 \times 100 = 70\%$

Resposta: La proporció estimada és 0.7, i el percentatge és $70\%$.

b) Interval de confiança del $95\%$

Fórmula:
$$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$
Càlculs:
$$\hat{p}(1 – \hat{p}) = 0.7 \cdot 0.3 = 0.21$$
$$\sqrt{\frac{0.21}{400}} = \sqrt{0.000525} \approx 0.02291$$
Error del marge:
$$1.96 \cdot 0.02291 \approx 0.0449$$
Interval:
$$0.7 \pm 0.0449 = [0.6551, 0.7449]$$
En percentatges: $[65.51\%, 74.49\%]$

Resposta: L’interval de confiança del $95\%$ és $[65.51\%, 74.49\%]$.