Problema de probabilitat condicionada sobre cotxes

La companyia d’assemblatge d’automòbils Ford s’ha presentat a una licitació per assemblar un nou model de vehicles. La probabilitat que Ford guanyi la licitació és de 0,90 si la firma competidora GTR no es presenta a la licitació, i de 0,20 en cas contrari. El president de Ford estima que hi ha una probabilitat de 0,80 que GTR es presenti. a) Quina és la probabilitat que Ford guanyi la licitació? b) Donat que Ford ha guanyat la licitació, quina és la probabilitat que GTR s’hagi presentat a la licitació?

Aquest és un problema de probabilitat condicional que involucra esdeveniments dependents. Definim els següents esdeveniments:

$A$: Ford guanya la licitació.
$B$: GTR es presenta a la licitació.

Probabilitats donades:
$$P(A \mid B^c) = 0.90$$ (Ford guanya si GTR no es presenta).
$$P(A \mid B) = 0.20$$ (Ford guanya si GTR es presenta).
$$P(B) = 0.80$$ (GTR es presenta).
$$P(B^c) = 1 – P(B) = 0.20$$ (GTR no es presenta).

a) Quina és la probabilitat que Ford guanyi la licitació?

Utilitzem la regla de la probabilitat total per calcular $$P(A)$$:
$$
P(A) = P(A \mid B)P(B) + P(A \mid B^c)P(B^c)
$$

Substituïm les probabilitats donades:
$$
P(A) = (0.20)(0.80) + (0.90)(0.20)
$$
$$
P(A) = 0.16 + 0.18 = 0.34
$$

Resultat: La probabilitat que Ford guanyi la licitació és $$\mathbf{P(A) = 0.34}$$ o un $34\%$.

Donat que Ford ha guanyat, quina és la probabilitat que GTR s’hagi presentat?

Apliquem la fórmula de Bayes per calcular $$P(B \mid A)$$:
$$
P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)P(B)}{P(A)}
$$

Substituïm els valors coneguts:
$$
P(B \mid A) = \frac{(0.20)(0.80)}{0.34}
$$
$$
P(B \mid A) = \frac{0.16}{0.34} \approx 0.4706
$$

Resultat: La probabilitat que GTR s’hagi presentat, donat que Ford ha guanyat la licitació, és aproximadament $$\mathbf{47.06\%}$$.