Problema de Física: Moviment Oscil·latori amb Fregament

Un bloc de dimensions negligibles i massa $M = 450 \, \text{g}$ està lligat a una molla de constant recuperadora $k = 102 \, \text{N/m}$. El bloc pot lliscar sobre una superfície horitzontal de manera que està sotmés a una força de fregament del tipus $f = -b v$, on $v$ és la velocitat del bloc i $b = 5.12 \, \text{N·s/m}$. Contra el bloc, inicialment a la seva posició d’equilibri i en repòs, impacta una bala de massa $m = 27.3 \, \text{g}$ movent-se horitzontalment amb velocitat $v_0 = 630 \, \text{m/s}$. La bala s’hi queda incrustada. Respon raonadament:

(a) La col·lisió entre bala i bloc és (tria una opció raonadament): (i) totalment elàstica; (ii) totalment inelàstica; (iii) parcialment inelàstica; (iv) no es pot determinar amb les dades proporcionades.

(b) Calcula la velocitat del bloc immediatament després de la col·lisió, un cop la bala s’hi ha incrustat.

(c) El moviment oscil·latori subseqüent és (tria una opció raonadament): (i) infraesmorteït; (ii) sobreesmorteït; (iii) críticament esmorteït; (iv) no es pot determinar amb les dades proporcionades.

(d) Calcula la freqüència angular $\omega$ del moviment resultant.

(e) Calcula el temps que el conjunt triga a aturar-se, assumint que es pot considerar aturat quan l’amplitud de les seves oscil·lacions s’ha reduït a una mil·lèsima part del seu valor inicial.

(a) La col·lisió és (ii) totalment inelàstica, ja que la bala s’incrusta al bloc i es mouen junts com un sol cos després de l’impacte. En una col·lisió totalment inelàstica, no es conserva l’energia cinètica, però sí el moment lineal. Les altres opcions no s’ajusten: no és elàstica perquè no reboten separats, i no és parcialment inelàstica perquè queden units completament.

(b) Per calcular la velocitat immediatament després de la col·lisió, apliquem la conservació del moment lineal, ja que no hi ha forces externes horitzontals significatives durant l’impacte (la molla i el fregament actuen després). El moment inicial és només el de la bala: $m v_0$. Després, el sistema (bala + bloc) té massa $\mu = m + M$ i velocitat $v$:

$$m v_0 = \mu v \implies v = \frac{m v_0}{\mu}$$

Substituint valors: $m = 0.0273 \, \text{kg}$, $M = 0.45 \, \text{kg}$, $\mu = 0.4773 \, \text{kg}$, $v_0 = 630 \, \text{m/s}$:

$$v = \frac{0.0273 \times 630}{0.4773} = 36.0 \, \text{m/s}$$

(c) El moviment oscil·latori subseqüent és (i) infraesmorteït, ja que el factor d’esmorteïment $\zeta = \frac{b}{2 \sqrt{\mu k}} < 1$. Per arribar-hi, calculem:

$$\sqrt{\mu k} = \sqrt{0.4773 \times 102} = 6.977$$

$$\zeta = \frac{5.12}{2 \times 6.977} = 0.367 < 1$$

Això indica oscil·lacions amb amplitud decreixent, típic d’infraesmorteïment. Si $\zeta > 1$ seria sobreesmorteït (retorn sense oscil·lar), i si $\zeta = 1$ crític.

(d) La freqüència angular $\omega$ per a un oscil·lador infraesmorteït és:

$$\omega = \omega_0 \sqrt{1 – \zeta^2}$$

on $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{\frac{102}{0.4773}} = 14.62 \, \text{rad/s}$, i amb $\zeta = 0.367$:

$$1 – \zeta^2 = 0.865, \quad \sqrt{0.865} = 0.930$$

$$\omega = 14.62 \times 0.930 = 13.6 \, \text{rad/s}$$

(e) L’amplitud decreix com $A(t) = A_0 e^{-\beta t}$, on $\beta = \frac{b}{2 \mu} = \frac{5.12}{2 \times 0.4773} = 5.36 \, \text{s}^{-1}$. Es considera aturat quan $A(t)/A_0 = 1/1000$:

$$e^{-\beta t} = 10^{-3} \implies -\beta t = \ln(10^{-3}) = -6.908 \implies t = \frac{6.908}{\beta}$$

$$t = \frac{6.908}{5.36} = 1.29 \, \text{s}$$