Operacions amb matrius

Donades $A = (3, 2, -1, 5)$ i $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, calculeu: a) $A \cdot B$ b) $B \cdot A$ c) $A \cdot B^T$

Dades:

$$A = (3, 2, -1, 5)$$
$$B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

a) $A \cdot B$

Com que $A$ és un vector fila de 4 components i $B$ és un vector columna de 4 components, el producte $A \cdot B$ és el producte escalar (o producte intern):
$$A \cdot B = (3 \cdot 3) + (2 \cdot -1) + (-1 \cdot 2) + (5 \cdot 0) = 9 – 2 – 2 + 0 = 5$$

b) $B \cdot A$

Aquí, $B$ és un vector columna i $A$ és un vector fila, per tant, el producte $B \cdot A$ no està definit com a producte escalar directe, ja que les dimensions no coincideixen per a un producte escalar. Tanmateix, si es refereix a la multiplicació de matrius (producte matricial), $B \cdot A$ resulta en una matriu. Com que $B$ és $4 \times 1$ i $A$ és $1 \times 4$, el producte $B \cdot A$ dona una matriu $4 \times 4$:

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot (3, 2, -1, 5)$$

Cada element de la matriu es calcula com el producte escalar de $B$ amb cada component de $A$ transposta (però aquí es fa com a producte extern):
$$B \cdot A = \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot -1 & 3 \cdot 5 \\
-1 \cdot 9 & -1 \cdot 2 & -1 \cdot -1 & -1 \cdot 5 \\
2 \cdot 3 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot -1 & 2 \cdot 5 \\
0 \cdot 3 & 0 \cdot 2 & 0 \cdot -1 & 0 \cdot 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
9 & 6 & -3 & 15 \\
-3 & -2 & 1 & -5 \\
6 & 4 & -2 & 10 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

c) $A \cdot B^T$

Primer, calculem $B^T$ (la transposta de $B$), que serà un vector fila:
$$B^T = (3, -1, 2, 0)$$

Ara, $A \cdot B^T$ és el producte de dos vectors fila, cosa que no està definit com a producte matricial estàndard.

Resultats finals:

a) $A \cdot B = 5$

b) $B \cdot A = \begin{pmatrix} 9 & 6 & -3 & 15 \\ -3 & -2 & 1 & -5 \\ 6 & 4 & -2 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

c) $A \cdot B^T$ no està definit com a producte matricial.