Problema A1. Setembre 2012

Siga el sistema d’equacions $S$: $$S = \begin{cases}x – 2y – 3z = 0 \\ 3x + 10y – z = 0, \quad \text{on } \alpha \text{ és un paràmetre real.} \\ x + 14y + \alpha z = 0\end{cases}$$ Obteniu raonadament: a) La solució del sistema $S$ quan $\alpha = 0$. b) El valor de $\alpha$ per al qual el sistema $S$ té infinites solucions. c) Totes les solucions del sistema $S$ quan es dóna a $\alpha$ el valor obtingut a l’apartat b).

Solució:

Discutirem el sistema aplicant el mètode de Gauss:

$$\begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 & | & 0 \\
3 & 10 & -1 & | & 0 \\
1 & 14 & \alpha & | & 0
\end{pmatrix}$$

$$\underset{E_2 \gets E_2 – 3E_1}{E_3 \gets E_3 – E_1} \begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 & | & 0 \\
0 & 16 & 8 & | & 0 \\
0 & 16 & \alpha + 3 & | & 0
\end{pmatrix}$$

$$\underset{E_3 \gets E_3 – E_2}{} \begin{pmatrix}
1 & -2 & -3 & | & 0 \\
0 & 16 & 8 & | & 0 \\
0 & 0 & \alpha – 5 & | & 0
\end{pmatrix}$$

Si $\alpha = 5$ el sistema és compatible indeterminat.

El sistema inicial és equivalent a:

$$S = \begin{cases}
x – 2y – 3z = 0 \\
-16y – 8z = 0
\end{cases}$$

la solució del qual és:

$$\begin{cases}
x = 2\mu \\
y = \frac{\mu}{2} \quad \text{on } \mu \in \mathbb{R}. \\
z = \mu
\end{cases}$$

Si $\alpha \neq 5$ el sistema és compatible determinat.

Si $\alpha = 0$ el sistema és compatible determinat.

El sistema inicial és equivalent a:

$$S = \begin{cases}
x – 2y – 3z = 0 \\
-16y – 8z = 0 \\
-5z = 0
\end{cases}$$

la solució del qual és:

$$\begin{cases}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}$$