Problema de Física: Densitat Mitjana de la Lluna

Un satèl·lit artificial es col·loca en una òrbita baixa al voltant de la Lluna i el seu període de revolució és $T = 110 \, \text{minuts}$. Quina és la densitat mitjana de la Lluna?
Notes: La distància entre el satèl·lit i la superfície de la Lluna és negligible. Mòdul de la força gravitatòria entre dues masses ($M$ i $m$), separades una distància $r$: $F = \frac{G M m}{r^2}$. Constant de gravitació universal, $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^{-2}$. Suposa que l’òrbita del satèl·lit és circular.

---

Per calcular la densitat mitjana de la Lluna, seguim un raonament basat en les dades proporcionades i les lleis de la mecànica orbital. Com que l’òrbita del satèl·lit és circular i la distància entre el satèl·lit i la superfície de la Lluna és negligible, podem assumir que el radi de l’òrbita és aproximadament igual al radi de la Lluna, $R$. El període de revolució és $T = 110 \, \text{minuts} = 6600 \, \text{s}$, i la constant de gravitació universal és $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.

Pas 1: Relació entre el període i la massa de la Lluna

Per a una òrbita circular, la força gravitatòria que proporciona la Lluna actua com la força centrípeta necessària per mantenir el satèl·lit en òrbita. L’equació de la força gravitatòria és:

$$F = \frac{G M m}{R^2}$$

on $M$ és la massa de la Lluna, $m$ és la massa del satèl·lit, i $R$ és el radi de l’òrbita (aproximadament el radi de la Lluna). La força centrípeta és:

$$F = \frac{m v^2}{R}$$

Equant les dues expressions i simplificant $m$:

$$\frac{G M}{R^2} = \frac{v^2}{R}$$

La velocitat orbital $v$ es pot expressar en termes del període $T$ i el radi $R$ com $v = \frac{2 \pi R}{T}$. Substituint:

$$\frac{G M}{R^2} = \frac{\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2}{R} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$$

Resolent per $M$:

$$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$$

Pas 2: Densitat mitjana

La densitat mitjana $\rho$ es defineix com la massa dividida pel volum. El volum d’una esfera és $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, així que:

$$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$$

Substituint $M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$:

$$\rho = \frac{\frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2} \cdot \frac{3}{4 \pi R^3} = \frac{3 \pi}{G T^2}$$

Curiosament, l’expressió final no depèn de $R$, cosa que és consistent amb el fet que la distància al centre es considera igual al radi de la Lluna.

Pas 3: Càlcul numèric

Substituint els valors: $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, $T = 6600 \, \text{s}$, i $\pi \approx 3.1416$:

$$\rho = \frac{3 \pi}{G T^2} = \frac{3 \times 3.1416}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (6600)^2}$$

Primer, calculem $T^2$:

$$T^2 = (6600)^2 = 43,560,000 \, \text{s}^2$$

Ara, el denominador:

$$G T^2 = (6.67 \times 10^{-11}) \times 43,560,000 = 2.904 \times 10^{-3} \, \text{N·m}^2/\text{kg}$$

I el numerador:

$$3 \pi \approx 3 \times 3.1416 = 9.4248$$

Així:

$$\rho = \frac{9.4248}{2.904 \times 10^{-3}} \approx 3245 \, \text{kg/m}^3$$

Resultat

La densitat mitjana de la Lluna és aproximadament $3245 \, \text{kg/m}^3$. Aquest valor és raonable comparat amb estimacions reals (aproximadament $3340 \, \text{kg/m}^3$), tenint en compte les simplificacions com negligir la distància del satèl·lit a la superfície i assumptes com la variació de la gravetat lunar.