Equacions matricials

Siguin $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$ i $D = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ a) Trobeu la matriu $X$ que compleixi $3X – 2C = 4D$ b) Trobeu $X$ i $Y$ tals que $\begin{cases} 2X – Y = C \\ -X + Y = D \end{cases}$

Dades:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$

a) Trobeu la matriu $X$ que compleixi $3X – 2C = 4D$

Primer, isolem $3X$:

$$3X = 2C + 4D$$

Calculem $2C$ i $4D$:

$$2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 10 & -6 \end{pmatrix}$$

$$4D = 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 24 \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$$

Ara, sumem $2C + 4D$:

$$2C + 4D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 10 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 24 \\ 8 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 0 & 0 + 24 \\ 10 + 8 & -6 – 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 24 \\ 18 & -10 \end{pmatrix}$$

Dividim per $3$ per obtenir $X$:

$$X = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 24 \\ 18 & -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & 8 \\ 6 & -\frac{10}{3} \end{pmatrix}$$

b) Trobeu $X$ i $Y$ tals que $\begin{cases} 2X – Y = C \\ -X + Y = D \end{cases}$

Tingues en compte que $X$ i $Y$ són matrius 2×2. Resolem el sistema d’equacions matricials. Sumem les dues equacions per eliminar $Y$:

$$(2X – Y) + (-X + Y) = C + D$$

$$X = C + D$$

Calculem $C + D$:

$$C + D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 0 & 0 + 6 \\ 5 + 2 & -3 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$$

Així, $X = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$.

Ara, substitueix $X$ a la primera equació per trobar $Y$:

$$2X – Y = C$$

$$2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} – Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$

$$2X = \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 14 & -8 \end{pmatrix}$$

$$-Y = C – 2X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 14 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – 4 & 0 – 12 \\ 5 – 14 & -3 – (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -12 \\ -9 & 5 \end{pmatrix}$$

Per tant:

$$Y = – \begin{pmatrix} -2 & -12 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 9 & -5 \end{pmatrix}$$

Verifiquem amb la segona equació $-X + Y = D$:

$$-X + Y = -\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 9 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 2 & -6 + 12 \\ -7 + 9 & 4 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = D$$

Resultats finals:

a) $X = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & 8 \ 6 & -\frac{10}{3} \end{pmatrix}$

b) $X = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 12 \\ 9 & -5 \end{pmatrix}$