Matriu trasposada. Producte de matrius

Tot sabent que $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 7 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 4 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$ comproveu que $(AB)^T = B^T A^T$.

Tenim:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 7 & -4 & 5 \end{pmatrix},
\quad
B = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 4 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}.$$

1. Calcular $AB$

$A$ és de mida $2 \times 3$, $B$ de mida $3 \times 2$.
El producte $AB$ és de mida $2 \times 2$.

$$AB =
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 7 & -4 & 5 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 4 & 1 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$$

• Primera fila × primera columna:
  $(-1)(2) + (2)(4) + (3)(3) = -2 + 8 + 9 = 15$.
• Primera fila × segona columna:
  $(-1)(-6) + (2)(1) + (3)(8) = 6 + 2 + 24 = 32$.
• Segona fila × primera columna:
  $(7)(2) + (-4)(4) + (5)(3) = 14 -16 + 15 = 13$.
• Segona fila × segona columna:
  $(7)(-6) + (-4)(1) + (5)(8) = -42 -4 + 40 = -6$.

Per tant:

$$AB = \begin{pmatrix} 15 & 32 \\ 13 & -6 \end{pmatrix}.$$

2. Transposar $AB$

$$(AB)^T = \begin{pmatrix} 15 & 13 \ 32 & -6 \end{pmatrix}.$$

3. Calcular $B^T A^T$

Primer, les transposades:

$$B^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ -6 & 1 & 8 \end{pmatrix},
\quad
A^T = \begin{pmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.$$

Multipliquem: $B^T (2 \times 3)$ per $A^T (3 \times 2)$ → resultat $2 \times 2$.

$$B^T A^T =
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ -6 & 1 & 8 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -1 & 7 \\ 2 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$

• Primera fila × primera columna:
  $(2)(-1) + (4)(2) + (3)(3) = -2 + 8 + 9 = 15$.
• Primera fila × segona columna:
  $(2)(7) + (4)(-4) + (3)(5) = 14 -16 + 15 = 13$.
• Segona fila × primera columna:
  $(-6)(-1) + (1)(2) + (8)(3) = 6 + 2 + 24 = 32$.
• Segona fila × segona columna:
  $(-6)(7) + (1)(-4) + (8)(5) = -42 -4 + 40 = -6$.

Per tant:

$$B^T A^T = \begin{pmatrix} 15 & 13 \\ 32 & -6 \end{pmatrix}.$$

4. Comparació

$$(AB)^T = \begin{pmatrix} 15 & 13 \\ 32 & -6 \end{pmatrix},
\quad
B^T A^T = \begin{pmatrix} 15 & 13 \\ 32 & -6 \end{pmatrix}.$$

✅ Es compleix que:

$$(AB)^T = B^T A^T.$$