Estudi del moviment helicoïdal: velocitat, acceleració i curvatura

El moviment tridimensional d’una partícula està definit pel vector posició $$\vec{r} = R\sin(\omega t),\hat{i} + ct,\hat{j} + R\cos(\omega t),\hat{k},$$ amb $R$, $\omega$ i $c$ constants.

a) Determineu les magnituds de la velocitat i l’acceleració de la partícula i

b) calculeu el radi de curvatura i els components tangent i normal de l’acceleració.

Donada la posició
$$\vec r(t)=R\sin(\omega t),\hat\imath + c t,\hat\jmath + R\cos(\omega t),\hat k,$$
amb $R,\omega,c$ constants.

Velocitat $\vec v$ i mòdul $|\vec v|$

Derivem $\vec r$:
$$\vec v(t)=\dot{\vec r}=(R\omega\cos(\omega t)),\hat\imath + c,\hat\jmath + (-R\omega\sin(\omega t)),\hat k.$$
El mòdul:
$$|\vec v|=\sqrt{(R\omega\cos\omega t)^2 + c^2 + ( -R\omega\sin\omega t)^2}
=\sqrt{R^2\omega^2(\cos^2\omega t+\sin^2\omega t)+c^2}
=\sqrt{R^2\omega^2 + c^2}.$$
Observació: la velocitat és de mòdul constant.

Acceleració $\vec a$ i mòdul $|\vec a|$

Derivem $\vec v$:
$$\vec a(t)=\dot{\vec v}=(-R\omega^2\sin\omega t),\hat\imath + 0\cdot\hat\jmath + (-R\omega^2\cos\omega t),\hat k
= -R\omega^2\big(\sin\omega t,\hat\imath + \cos\omega t,\hat k\big).$$
Mòdul:
$$|\vec a|=R\omega^2\sqrt{\sin^2\omega t+\cos^2\omega t}=R\omega^2.$$

Radi de curvatura $\rho$ (i curvatura $\kappa$)

La curvatura $\kappa$ s’expressa per
$$\kappa=\frac{|\vec v\times\vec a|}{|\vec v|^3}.$$
Calculem $\vec v\times\vec a$. Donant els components ja obtinguts, es troba
$$\vec v\times\vec a =\big(-cR\omega^2\cos\omega t\big),\hat\imath + \big(R^2\omega^3\big),\hat\jmath + \big(cR\omega^2\sin\omega t\big),\hat k.$$
El seu mòdul:
$$|\vec v\times\vec a|=R\omega^2\sqrt{c^2+R^2\omega^2}.$$
Com que (|\vec v|=\sqrt{c^2+R^2\omega^2}), tenim
$$\kappa=\frac{R\omega^2\sqrt{c^2+R^2\omega^2}}{(c^2+R^2\omega^2)^{3/2}}=\frac{R\omega^2}{c^2+R^2\omega^2}.$$
Per tant el radi de curvatura $\rho=1/\kappa$ és
$$\boxed{\rho=\frac{c^2+R^2\omega^2}{R\omega^2}=R+\frac{c^2}{R\omega^2}.}$$

Components tangent i normal de l’acceleració

La component tangent:
$$a_t=\frac{\vec v\cdot\vec a}{|\vec v|}.$$
Però $\vec v\cdot\vec a=\dfrac{d}{dt}\big(\tfrac12|\vec v|^2\big)=0$ (ja que $|\vec v|$ és constant), així
$$\boxed{a_t=0.}$$

La component normal (mòdul) és
$$a_n=\sqrt{|\vec a|^2-a_t^2}=|\vec a|=R\omega^2.$$
I el versor normal principal $\hat N$ (direcció de l’acceleració, ja que tota l’acceleració és normal) és
$$\hat N=\frac{\vec a}{|\vec a|}=-\big(\sin\omega t,\hat\imath + 0\cdot\hat\jmath + \cos\omega t,\hat k\big).$$
Per tant
$$\boxed{\vec a = a_n,\hat N = R\omega^2\big(-\sin\omega t,\hat\imath -\cos\omega t,\hat k\big).}$$

Resum ràpid:

• $\displaystyle \vec v=(R\omega\cos\omega t),\hat\imath + c,\hat\jmath – (R\omega\sin\omega t),\hat k), (|\vec v|=\sqrt{R^2\omega^2+c^2}$.
• $\displaystyle \vec a=-R\omega^2(\sin\omega t,\hat\imath+\cos\omega t,\hat k)), (|\vec a|=R\omega^2$.
• $\displaystyle \kappa=\frac{R\omega^2}{R^2\omega^2+c^2},\quad \rho=\frac{R^2\omega^2+c^2}{R\omega^2}=R+\frac{c^2}{R\omega^2}.$
• $;a_t=0,\quad a_n=R\omega^2,\quad \hat N=-(\sin\omega t,;0,;\cos\omega t).$