Instant en què dues partícules llançades horitzontalment tenen velocitats perpendiculars

Des de dalt d’una torre i a l’instant $t = 0$ es llancen dues partícules (1 i 2), horitzontalment, en sentits oposats i amb velocitats inicials de mòdul $10 , \text{m/s}$ i $20 , \text{m/s}$. Sense tenir en compte la fricció de l’aire i suposant que no arriben a tocar el terra, trobeu l’instant $t$ en què les seves velocitats esdevenen perpendiculars entre si.

Prenguem l’eix $x$ horitzontal (positiu cap a la dreta) i l’eix $y$ vertical (positiu cap amunt). A l’instant $t$ les velocitats són:

• Partícula 1 (inicial 10 m/s cap a la dreta):
  $$\vec v_1=(10,\ -gt).$$
• Partícula 2 (inicial 20 m/s cap a l’esquerra):
  $$\vec v_2=(-20,\ -gt).$$

Les velocitats són perpendiculars quan $\vec v_1\cdot\vec v_2=0$. Així,
$$10\cdot(-20)+(-gt)(-gt)=0 \quad\Rightarrow\quad -200+g^2t^2=0.$$
Per tant
$$t=\frac{\sqrt{200}}{g}=\frac{10\sqrt{2}}{g}.$$

Amb $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$,
$$t\approx\frac{14{,}142}{9{,}81}\approx 1{,}44\ \text{s}.$$

Resposta: $t=\dfrac{10\sqrt2}{g}\approx 1{,}44\ \mathrm{s}.$