Càlcul del Radi de Curvatura d’una Trajectòria

Un mòbil descriu una trajectòria tal que, en un instant donat, la seva velocitat és $\vec{v} = 2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$ i la seva acceleració, $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} – 3\hat{k}$ ($\vec{v}$ i $\vec{a}$ en unitats S.I.). Calcula el radi de curvatura de la trajectòria en aquest instant.

Per calcular el radi de curvatura $\rho$ en un instant donat, utilitzem la fórmula:

$$\rho = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v} \times \vec{a}|}$$

on (\vec{v}) és la velocitat i $\vec{a}$ és l’acceleració.

Dades:

• $\vec{v} = 2\hat{i} – \hat{j} + 2\hat{k}$
• $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} – 3\hat{k}$

Pas 1: Calcular la magnitud de la velocitat $|\vec{v}|$

$$|\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

Pas 2: Calcular el producte vectorial $\vec{v} \times \vec{a}$

Utilitzem la determinació del producte vectorial:

$$\vec{v} \times \vec{a} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -1 & 2 \\
3 & 1 & -3 \\
\end{vmatrix}$$

• Component $\hat{i}$: $(-1) \cdot (-3) – 2 \cdot 1 = 3 – 2 = 1$
• Component $\hat{j}$: $-(2 \cdot (-3) – 2 \cdot 3) = -(-6 – 6) = -(-12) = 12$
• Component $\hat{k}$: $2 \cdot 1 – (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5$

Així, $\vec{v} \times \vec{a} = 1\hat{i} + 12\hat{j} + 5\hat{k}$.

Pas 3: Calcular la magnitud de $\vec{v} \times \vec{a}$

$$|\vec{v} \times \vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (12)^2 + (5)^2} = \sqrt{1 + 144 + 25} = \sqrt{170}$$

Pas 4: Calcular el radi de curvatura $\rho$

$$\rho = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v} \times \vec{a}|} = \frac{3^3}{\sqrt{170}} = \frac{27}{\sqrt{170}}$$

Resultat final:

El radi de curvatura en aquest instant és $\rho = \frac{27}{\sqrt{170}}$ unitats S.I.