Càlcul de l’Alçada Màxima, Acceleració Normal i Radi de Curvatura d’una Pilota

Una pilota surt disparada a una velocitat de $10$ m/s amb un angle de $40^\circ$ respecte l’horitzontal. Determineu l’alçada màxima i l’acceleració normal i el radi de curvatura a l’instant inicial i quan la pilota assoleix l’alçada màxima ($g = 9.81$ m/s$^2$).

Per resoldre el problema, analitzem el moviment parabòlic de la pilota. La velocitat inicial és $v_0 = 10 \, \text{m/s}$ amb un angle de $40^\circ$ respecte l’horitzontal, i l’acceleració de la gravetat és $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$.

Dades inicials:

• Component horitzontal: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(40^\circ)$
• Component vertical: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(40^\circ)$
• $\cos(40^\circ) \approx 0.766), (\sin(40^\circ) \approx 0.643$
• $v_{0x} = 10 \cdot 0.766 = 7.66 \, \text{m/s}$
• $v_{0y} = 10 \cdot 0.643 = 6.43 \, \text{m/s}$

1. Alçada màxima

L’alçada màxima es calcula amb la fórmula: $h_{\text{màx}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}$
$$h_{\text{màx}} = \frac{(6.43)^2}{2 \cdot 9.81} = \frac{41.34}{19.62} \approx 2.11 \, \text{m}$$

2. Acceleració normal i radi de curvatura a l’instant inicial

A l’instant inicial, la trajectòria és recta (no hi ha curvatura encara), per tant:

• L’acceleració normal $a_n = 0$, ja que no hi ha canvi de direcció instantània.
• El radi de curvatura $\rho$ és infinit ($\rho = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v} \times \vec{a}|}), però (\vec{v} \times \vec{a} = 0$ inicialment).

3. Acceleració normal i radi de curvatura a l’alçada màxima

A l’alçada màxima, la velocitat vertical és $0$, i només queda la component horitzontal $v_x = 7.66 \, \text{m/s}$. L’acceleració normal es calcula com:
$$a_n = \frac{v^2}{\rho}$$
On $v = v_x = 7.66 \, \text{m/s}$, i l’acceleració centrípeta és proporcionada per la component radial de $g$. A l’apogeu, la curvatura depèn de la segona derivada de la posició. El radi de curvatura es calcula amb:
$$\rho = \frac{(v_x^2 + v_y^2)^{3/2}}{|v_x \cdot a_y – v_y \cdot a_x|}$$
A l’alçada màxima, ( v_y = 0 ), ( a_y = -g ), ( a_x = 0 ):

• $v = v_x = 7.66 \, \text{m/s}$
• Acceleració tangent $a_t = g \cdot \sin(\theta)$, però a l’apogeu $\theta = 90^\circ$, i només considerem $a_n$.
• $a_n = \frac{v^2}{r}$, on $r$ es deriva de la paràbola. Per a una paràbola $y = x^2 / (2h)$, el radi de curvatura a l’apogeu és $\rho = \frac{h}{g} \cdot v_x^2$.

Substituïnt:
$$\rho = \frac{h_{\text{màx}}}{g} = \frac{2.11}{9.81} \approx 0.215 \, \text{s}^2$$
Però correctament, $\rho = \frac{v_0^2 \cos^2(40^\circ)}{g \sin(40^\circ)}$:
$$\rho = \frac{(10)^2 \cdot (0.766)^2}{9.81 \cdot 0.643} = \frac{100 \cdot 0.587}{6.31} \approx 9.29 \, \text{m}$$
Aleshores, $a_n = \frac{v_x^2}{\rho} = \frac{(7.66)^2}{9.29} \approx \frac{58.67}{9.29} \approx 6.31 \, \text{m/s}^2$.

Resultats finals:

• Alçada màxima: $2.11 \, \text{m}$
• A l’instant inicial: $a_n = 0 ), (\rho = \infty$
• A l’alçada màxima: $a_n \approx 6.31 \, \text{m/s}^2$, $\rho \approx 9.29 \, \text{m}$