Caiguda Lliure des d’un Helicòpter: Càlcul d’Alçada i Velocitat

Des d’un helicòpter que puja a $4$ m/s es deixa caure una caixa. Si triga $10$ s en arribar al terra, calculeu: a) A quina alçada es trobava l’helicòpter en el moment inicial? b) A quina alçada es troba la caixa $0,5$ s després de deixar-la caure? c) Amb quina velocitat arriba la caixa a terra?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem les equacions de la cinemàtica per a un moviment uniformement accelerat (caiguda lliure amb velocitat inicial). Prenem l’acceleració gravitacional com $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$ (cap avall) i assumim que no hi ha resistència de l’aire. L’helicòpter puja a $4 \, \text{m/s}$, de manera que la caixa, en ser deixada anar, té una velocitat inicial cap amunt de $v_0 = 4 \, \text{m/s}$. Prenem el terra com a punt de referència ($y = 0$) i el desplaçament positiu cap amunt.

Les equacions que utilitzarem són:

1. Posició: $y = y_0 + v_0 t – \frac{1}{2} g t^2$
2. Velocitat: $v = v_0 – g t$

a) A quina alçada es trobava l’helicòpter en el moment inicial?

Sabem que la caixa arriba al terra ($y = 0$) després de $t = 10 \, \text{s}$. Substituïm a l’equació de posició:

$$0 = y_0 + (4)(10) – \frac{1}{2} (9,8)(10)^2$$

$$0 = y_0 + 40 – \frac{1}{2} (9,8)(100)$$

$$0 = y_0 + 40 – 490$$

$$y_0 = 490 – 40 = 450 \, \text{m}$$

Resposta: L’helicòpter es trobava a $450$ m d’alçada.

b) A quina alçada es troba la caixa $0,5$ s després de deixar-la caure?

Utilitzem l’equació de posició amb $t = 0,5 \, \text{s}$, $y_0 = 450 \, \text{m}$, $v_0 = 4 \, \text{m/s}$, i $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$:

$$y = 450 + (4)(0,5) – \frac{1}{2} (9,8)(0,5)^2$$

$$y = 450 + 2 – \frac{1}{2} (9,8)(0,25)$$

$$y = 450 + 2 – (4,9)(0,25)$$

$$y = 450 + 2 – 1,225 = 450,775 \, \text{m}$$

Resposta: La caixa es troba a $450,78$ m d’alçada (arrodonint a dos decimals).

c) Amb quina velocitat arriba la caixa a terra?

Utilitzem l’equació de velocitat amb $t = 10 \, \text{s}$, $v_0 = 4 \, \text{m/s}$, i $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$:

$$v = 4 – (9,8)(10)$$

$$v = 4 – 98 = -94 \, \text{m/s}$$

El signe negatiu indica que la velocitat és cap avall. Com que el problema demana la velocitat (que sovint es refereix al mòdul en contextos de caiguda), prenem el valor absolut.

Resposta: La caixa arriba a terra amb una velocitat de $94$ m/s.

Resum de respostes:

a) $450$ m
b) $450,78$ m
c) $94$ m/s