Problema de Cinemàtica Vectorial

El vector posició d’un mòbil ve donat per \(\vec{r}(t) = (6t^3 + 2, 3t^2)\), en unitats del SI. Es demana: (a) El vector desplaçament entre els instants \( t_1 = 1 \, \text{s} \) i \( t_2 = 3 \, \text{s} \). (b) El mòdul del desplaçament entre aquests instants. (c) La velocitat mitjana entre aquests instants del temps i el seu mòdul. (d) La velocitat instantània en funció del temps. (e) L’acceleració mitjana entre els mateixos instants de temps i el seu mòdul. (f) L’acceleració instantània en funció del temps.

a) A partir del vector posició
$$\vec{r}(t) = (6t^3 + 2, 3t^2)$$
i els temps $t_1 = 1 \, \text{s}$, $t_2 = 3 \, \text{s}$, calculem el vector posició per al temps inicial i final:
$$\vec{r}(1) = (6 \cdot 1^3 + 2, 3 \cdot 1^2) = (8, 3)$$
$$\vec{r}(3) = (6 \cdot 3^3 + 2, 3 \cdot 3^2) = (164, 27)$$
Ara podem calcular el vector desplaçament:
$$\Delta\vec{r} = (164, 27) – (8, 3) = (156, 24)$$

b) El mòdul del desplaçament és:
$$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{156^2 + 24^2} = \sqrt{24912} = 157,84 \, \text{m}$$

c) La velocitat mitjana es pot trobar com:
$$\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{(156, 24)}{3 – 1} = \frac{(156, 24)}{2} = (78, 12)$$
i el seu mòdul:
$$|\vec{v}_m| = \sqrt{78^2 + 12^2} = \sqrt{6228} = 78,92 \, \text{m/s}$$

d) És immediat calcular:
$$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = (18t^2, 6t)$$

e) Amb $\vec{v}(t) = (18t^2, 6t)$ i els valors inicial i final del temps:
$$\vec{v}(1) = (18, 6)$$
$$\vec{v}(3) = (162, 18)$$
A partir de la definició d’acceleració mitjana:
$$\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{(162, 18) – (18, 6)}{3 – 1} = \frac{(144, 12)}{2} = (72, 6)$$
i el seu mòdul és:
$$|\vec{a}_m| = \sqrt{72^2 + 6^2} = \sqrt{5220} = 72,25 \, \text{m/s}^2$$

f) Calculem directament:
$$\vec{a}(t) = \dot{\vec{v}}(t) = (36t, 6)$$