Càlcul del Radi de Curvatura d’una Trajectòria Vectorial

Suposem que el vector posició d’un mòbil ve donat per $$\vec{r}(t) = \left( t^2 – t, \frac{1}{5}t^5 + 1 \right)$$ en unitats del SI. Es demana trobar, de forma implícita, l’expressió que relaciona el radi de curvatura de la trajectòria que descriu, en funció del temps.

a) A partir del vector posició
$$\vec{r}(t) = \left( t^2 – t, \frac{1}{5}t^5 + 1 \right)$$
Calculem la velocitat i el seu mòdul:
$$\vec{v}(t) = (2t – 1, t^4)$$
$$|\vec{v}(t)| = \sqrt{(2t – 1)^2 + t^8}$$

De forma semblant, amb l’acceleració total:
$$\vec{a}(t) = (2, 4t^3)$$
$$|\vec{a}(t)| = \sqrt{4 + 16t^6}$$

Pel que fa a l’acceleració tangencial, tenim, pel seu mòdul:
$$|\vec{a}_t(t)| = \frac{d|\vec{v}(t)|}{dt} = \frac{2(2t – 1) \cdot 2 + 8t^7}{2 \sqrt{(2t – 1)^2 + t^8}}$$

El mòdul de l’acceleració normal es calcula directament com:
$$|\vec{a}_n(t)| = \frac{|\vec{v}(t)|^2}{R} = \frac{(2t – 1)^2 + t^8}{R}$$

Finalment, dels càlculs anteriors i la relació entre els mòduls de les components intrínseques de l’acceleració i el de la total:
$$a^2(t) = a_t^2(t) + a_n^2(t)$$

podem escriure:
$$4 + 16t^6 = \frac{(4(2t – 1) + 8t^7)^2}{4 [(2t – 1)^2 + t^8]} + \frac{((2t – 1)^2 + t^8)^2}{R^2}$$