Càlcul de Velocitats i Angles en l’Explosió d’una Granada i Impacte Inelàstic

Una granada de 2 kg es mou inicialment en la direcció horitzontal amb una velocitat de 6 m/s i esclata en dos trossos. Un d’ells, de 500 g, es desvia 30° respecte a la direcció inicial amb una velocitat de 20 m/s. Suposant que no hi ha forces externes, calcula: a) La velocitat del segon tros. b) L’angle que forma el segon fragment respecte a la direcció inicial. c) Si el primer tros de 500 g xoca contra un bloc de fusta de 3 kg, inicialment en repòs, quina serà la velocitat del bloc després de l’impacte?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem el principi de $\textbf{conservació del moment lineal}$ en dues dimensions per a l’explosió de la granada, ja que no hi ha forces externes. Per a l’impacte amb el bloc de fusta, assumirem un $\textbf{impacte inelàstic}$, ja que no s’especifica elasticitat.

Dades inicials:

• Massa de la granada: \( m = 2 \, \text{kg} \)

• Velocitat inicial de la granada: \( v = 6 \, \text{m/s} \) (en la direcció horitzontal, eix \( x \)).

• Massa del primer tros: \( m_1 = 500 \, \text{g} = 0,5 \, \text{kg} \)

• Velocitat del primer tros: \( v_1 = 20 \, \text{m/s} \)

• Angle del primer tros: \( \theta_1 = 30^\circ \)

• Massa del segon tros: \( m_2 = m – m_1 = 2 – 0,5 = 1,5 \, \text{kg} \)

• Massa del bloc de fusta: \( m_b = 3 \, \text{kg} \)

• Velocitat inicial del bloc: \( v_b = 0 \, \text{m/s} \)

a) Velocitat del segon tros. El moment lineal inicial de la granada es conserva després de l’explosió. Analitzem en dues dimensions (\( x \) i \( y \)).

Moment lineal inicial:

• En \( x \): \[ p_{x,\text{inicial}} = m \cdot v = 2 \cdot 6 = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \]

• En \( y \): \[ p_{y,\text{inicial}} = 0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} (\text{no hi ha moviment vertical}) \]

Moment lineal final: El primer tros (\( m_1 = 0,5 \, \text{kg} \)) té velocitat \( v_1 = 20 \, \text{m/s} \) a \( 30^\circ \):

• En \( x \): \[ p_{1x} = m_1 \cdot v_1 \cdot \cos(30^\circ) = 0,5 \cdot 20 \cdot 0,866 = 8,66 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \]

• En \( y \): \[ p_{1y} = m_1 \cdot v_1 \cdot \sin(30^\circ) = 0,5 \cdot 20 \cdot 0,5 = 5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \]

El segon tros (\( m_2 = 1,5 \, \text{kg} \)) té velocitat \( \vec{v_2} = (v_{2x}, v_{2y}) \):

• En \( x \): \( p_{2x} = 1,5 \cdot v_{2x} \)

• En \( y \): \( p_{2y} = 1,5 \cdot v_{2y} \)

Conservació del moment lineal:

• En \( x \): \[ 12 = 8,66 + 1,5 \cdot v_{2x} \implies v_{2x} = \frac{12 – 8,66}{1,5} = \frac{3,34}{1,5} = 2,227 \, \text{m/s} \]

• En \( y \): \[ 0 = 5 + 1,5 \cdot v_{2y} \implies v_{2y} = \frac{-5}{1,5} = -3,333 \, \text{m/s} \]

Mòdul de la velocitat del segon tros: \[v_2 = \sqrt{(2,227)^2 + (-3,333)^2} = \sqrt{4,96 + 11,11} = \sqrt{16,07} \approx 4,01 \, \text{m/s}\]\textbf{Resposta a):} La velocitat del segon tros és 4,01 m/s.

b) Angle del segon tros respecte a la direcció inicial. L’angle \( \theta_2 \) es calcula amb: \[\tan(\theta_2) = \left| \frac{v_{2y}}{v_{2x}} \right| = \left| \frac{-3,333}{2,227} \right| = 1,497 \implies \theta_2 = \arctan(1,497) \approx 56,31^\circ\]Com que \( v_{2y} \) és negatiu i \( v_{2x} \) positiu, l’angle és en el quart quadrant: \[\theta_2 = -56,31^\circ \quad (56,31^\circ \text{ per sota de la direcció inicial})\]

$\textbf{Resposta b):}$ L’angle és 56,31° per sota de la direcció inicial.

c) Velocitat del bloc de fusta després de l’impacte. Assumim un $\textbf{impacte inelàstic}$, on el tros i el bloc es mouen junts després de l’impacte amb velocitat comuna \( \vec{v_f} \).\

Moment lineal inicial: Components del primer tros (\( v_1 = 20 \, \text{m/s} \) a \( 30^\circ \)):

• \( v_{1x} = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 17,32 \, \text{m/s} \)

• \( v_{1y} = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \, \text{m/s} \)

Moment lineal inicial:

• En \( x \): \( p_{x,\text{inicial}} = m_1 \cdot v_{1x} = 0,5 \cdot 17,32 = 8,66 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \)

• En \( y \): \( p_{y,\text{inicial}} = m_1 \cdot v_{1y} = 0,5 \cdot 10 = 5 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \)

El bloc té \( v_b = 0 \, \text{m/s} \).

Moment lineal final: Massa total: \( m_1 + m_b = 0,5 + 3 = 3,5 \, \text{kg} \).

• En \( x \): \[ 8,66 = 3,5 \cdot v_{fx} \implies v_{fx} = \frac{8,66}{3,5} \approx 2,474 \, \text{m/s} \]

• En \( y \): \[ 5 = 3,5 \cdot v_{fy} \implies v_{fy} = \frac{5}{3,5} \approx 1,429 \, \text{m/s} \]

Mòdul de la velocitat: \[v_f = \sqrt{(2,474)^2 + (1,429)^2} = \sqrt{6,116 + 2,042} = \sqrt{8,158} \approx 2,86 \, \text{m/s}\]

$\textbf{Resposta c):}$ La velocitat del bloc és 2,86 m/s.

Resum de respostes:

• Velocitat del segon tros: 4,01 m/s.

• Angle del segon tros: 56,31° per sota de la direcció inicial.

• Velocitat del bloc de fusta: 2,86 m/s.