problema càlcul vectorial

Dels vectors \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) coneixem que \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = 5\) i l’angle que formen, \(\alpha = 60^\circ\). Calcular \(|\vec{a} + \vec{b}|\) i \(|\vec{a} – \vec{b}|\).

Per calcular la magnitud del vector suma \(|\vec{a} + \vec{b}|\), utilitzem la llei dels cosinus per vectors: \[|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha}\] Substituint els valors: \[|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ}\] \[= \sqrt{4 + 25 + 20 \cdot 0.5} = \sqrt{4 + 25 + 10} = \sqrt{39}\] Per tant, \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{39}\).Per calcular la magnitud del vector diferència \(|\vec{a} – \vec{b}|\): \[|\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha}\] Substituint els valors: \[|\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 5^2 – 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ}\] \[= \sqrt{4 + 25 – 20 \cdot 0.5} = \sqrt{4 + 25 – 10} = \sqrt{19}\] Per tant, \(|\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{19}\).\textbf{Solució:} \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{39}\) i \(|\vec{a} – \vec{b}| = \sqrt{19}\).\section*{8. b)}\textbf{Enunciat:} De les vectors \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) coneixem que \(|\vec{a} + \vec{b}| = 5\), \(|\vec{b}| = \sqrt{19}\) i l’angle \(\alpha = 30^\circ\). Calcular \(|\vec{a}|\).\textbf{Procés de resolució:} Utilitzem la llei dels cosinus per vectors: \[|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha}\] Substituint els valors coneguts: \[5 = \sqrt{|\vec{a}|^2 + (\sqrt{19})^2 + 2 |\vec{a}| \cdot \sqrt{19} \cdot \cos 30^\circ}\] \[5 = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 19 + 2 |\vec{a}| \cdot \sqrt{19} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\] Elevem al quadrat ambdues bandes per eliminar la arrel: \[25 = |\vec{a}|^2 + 19 + |\vec{a}| \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{3}\] Reorganitzem com a equació quadràtica on \(x = |\vec{a}|\): \[x^2 + x \cdot \sqrt{57} – 6 = 0\] (on \(\sqrt{19} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{57}\), i \(25 – 19 = 6\)). Resolem amb la fórmula quadràtica \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\), on \(a = 1\), \(b = \sqrt{57}\), \(c = -6\): \[x = \frac{-\sqrt{57} \pm \sqrt{(\sqrt{57})^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2}\] \[= \frac{-\sqrt{57} \pm \sqrt{57 + 24}}{2} = \frac{-\sqrt{57} \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-\sqrt{57} \pm 9}{2}\] Les solucions són: \[x = \frac{9 – \sqrt{57}}{2} \quad \text{o} \quad x = \frac{- \sqrt{57} – 9}{2}\] Com que \(|\vec{a}|\) ha de ser positiu, prenem la solució positiva: \[|\vec{a}| = \frac{9 – \sqrt{57}}{2}\] Aproximadament, \(\sqrt{57} \approx 7.55\), així: \[|\vec{a}| \approx \frac{9 – 7.55}{2} = \frac{1.45}{2} \approx 0.725\]