Determinació del nombre de vendimiadors d’una quadrilla

Una quadrilla de vendimiadors ha de veremar dues finques, una de les quals té el doble de superfície que l’altra. Durant mig dia, tot el personal de la quadrilla va treballar a la finca gran; després de dinar, una meitat de la gent va quedar a la finca gran i l’altra meitat va treballar a la petita. Durant aquella tarda, es van acabar les dues finques, excepte un petit sector de la finca petita, la verema del qual va ocupar tot el dia següent a un sol vendimiador. Quants vendimiadors tenia la quadrilla? (Ajuda: Anomenar $x$ al nombre de vendimiadors i $s$ a la superfície que verema una persona en mitja jornada, i plantejar una equació, no un sistema!)

Definim:

•     $x$: nombre de vendimiadors.
•     $s$: superfície veremada per un vendimiador en mitja jornada.
•     $S$: superfície de la finca petita.
•     $2S$: superfície de la finca gran.

Treball realitzat:

•     $\textbf{Matí (mig dia):}$ $x$ vendimiadors treballen a la finca gran, veremant $x \cdot s$.
•     $\textbf{Tarda (mig dia):}$ $\frac{x}{2}$ vendimiadors treballen a la finca gran ($\frac{x}{2} \cdot s$), i $\frac{x}{2}$ a la finca petita ($\frac{x}{2} \cdot s$).
•     $\textbf{Dia següent:}$ Un vendimiador verema $2s$ (un dia complet) a la finca petita.

•     Finca gran (completa):

    \[    x \cdot s + \frac{x}{2} \cdot s = \frac{3x}{2} \cdot s = 2S    \]

    \[    S = \frac{3x}{4} \cdot s    \]

•     Finca petita:

    \[    \frac{x}{2} \cdot s + 2s = S    \]

Substituïm $S$:

\[\frac{x}{2} \cdot s + 2s = \frac{3x}{4} \cdot s\]

Dividim per $s$:

\[\frac{x}{2} + 2 = \frac{3x}{4}\]

Multipliquem per 4:

\[2x + 8 = 3x\]

\[x = 8\]

Verificació:

•     Finca petita: $S = \frac{3 \cdot 8}{4} \cdot s = 6s$.
•     Finca gran: $2S = 12s$.
•     Matí (finca gran): $8s$.
•     Tarda (finca gran): $\frac{8}{2} \cdot s = 4s$. Total: $8s + 4s = 12s$.
•     Tarda (finca petita): $\frac{8}{2} \cdot s = 4s$. Restant: $2s$. Total: $4s + 2s = 6s$.

$\textbf{Resposta final:}$

La quadrilla té $\textbf{8 vendimiadors}$.