Problema B1 model 1 juliol 2025 Illes Balears (àlgebra MAT)

Donat el sistema $$\begin{cases}kx + y &= 1, \\ ky + 2z &= 0, \\ 3x – y – z &= 0,\end{cases}$$ on $k$ és un nombre real qualsevol. a) Discuteix, segons el paràmetre $k$, el nombre de solucions que té el sistema. b) Resol el sistema quan sigui possible.

a) Discuteix, segons el paràmetre $k$, el nombre de solucions que té el sistema.

Discussió segons $k$: nombre de solucions

$\textbf{Coeffcients i determinant:}$

\[A =\begin{pmatrix}k & 1 & 0 \\0 & k & 1 \\3 & -1 & -1\end{pmatrix},\quad\det A = -k^2 + k + 3 = -(k^2 – k – 3).\]

• Si $\det A \neq 0 \iff k^2 – k – 3 \neq 0$, el sistema té una única solució.

• Si $\det A = 0 \iff k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, cal mirar la compatibilitat. Ho veurem a l’eliminació (a sota): en aquests valors apareix l’equació $0 \cdot y = 1$, que és impossible. Per tant, el sistema és incompatible (cap solució) per

    \[    k = \frac{1 – \sqrt{13}}{2} \quad o \quad k = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}.    \]

$\textbf{Conclusió (a):}$

• Única solució si $k \notin \left\{ \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \right\}$.

• Cap solució si $k \in \left\{ \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \right\}$.

• Cap cas de solucions infinites.

b) Resol el sistema quan sigui possible.

Resolució quan sigui possible

$\textbf{Eliminació directa:}$

• De la 2a: $z = -ky$.

• Substitueix a la 3a:

    \[    3x – y – (-ky) = 0 \implies 3x + (k – 1)y = 0 \implies 3x = (1 – k)y \implies x = \frac{1 – k}{3} y.    \]

• Substitueix a la 1a:

    \[    k \left( \frac{1 – k}{3} y \right) + y = 1 \implies \left( \frac{k (1 – k)}{3} + 1 \right) y = 1 \implies frac{-k^2 + k + 3}{3} y = 1.    \]

• Si $-k^2 + k + 3 \neq 0$ (és a dir, $k^2 – k – 3 \neq 0$):

    \[    y = \frac{3}{-k^2 + k + 3} = \frac{3}{- (k^2 – k – 3)},    \]

    \[    x = \frac{1 – k}{3} y = \frac{1 – k}{3} \cdot \frac{3}{- (k^2 – k – 3)} = \frac{k – 1}{k^2 – k – 3},    \]

    \[    z = -ky = -k \cdot \frac{3}{- (k^2 – k – 3)} = \frac{3k}{k^2 – k – 3}.    \]

• Si $-k^2 + k + 3 = 0$ (és a dir, $k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$), l’equació anterior queda $0 \cdot y = 1$, contradicció $\implies$ cap solució.

$\textbf{Solució final (quan existeix):}$

Per $k \notin \left\{ \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \right\}$:

\[x = \frac{k – 1}{k^2 – k – 3}, \quad y = \frac{3}{k^2 – k – 3}, \quad z = \frac{3k}{k^2 – k – 3}.\]

Si $k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, el sistema no té solució.